《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

变式 1. 如图,若点 $ D $ 在 $ A B $ 下方, $ A D \perp B D $,求 $ \angle B D C $ 的度数．

解：作 $ C M \perp C D $ 交 $ B D $ 于 $ M $，易证 $ \triangle A C D \cong \triangle B C M $，$ \therefore C D = C M $，$ \angle B D C = $$ 45^{\circ} $。

答案： 证明：作 $ C M \perp C D $ 交 $ B D $ 于 $ M $，易证 $ \triangle A C D \cong \triangle B C M $，$ \therefore C D = C M $，$ \angle B D C = 45 ^ { \circ } $。

变式 2. 如图,点 $ D $ 在 $ A B $ 上方, $ A D \perp B D $,求 $ \angle B D C $ 的度数．

答：$ \angle B D C $ 的度数为$45^{\circ}$。

答案： 证明：过 $ C $ 作 $ C M \perp C D $ 交 $ B D $ 于 $ M $，易证 $ \triangle A C D \cong \triangle B C M $，$ \therefore C D = C M $，$ \angle B D C = 45 ^ { \circ } $。

变式 3. 如图,点 $ D $ 在 $ A B $ 下方, $ \angle B D C = 45 ^ { \circ } $,求证： $ A D \perp B D $．
证明：$ \triangle C A D \cong \triangle C B M $，$ \therefore \angle A D C + \angle C D M = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A D \perp B D $．

答案： 证明：$ \triangle C A D \cong \triangle C B M $，$ \therefore \angle A D C + \angle C D M = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore A D \perp B D $。

变式 4. 如图,点 $ D $ 在 $ A B $ 上方, $ \angle B D C = 45 ^ { \circ } $,求证： $ A D \perp B D $．

证明：过 $ C $ 点作 $ C M \perp C D $ 交 $ B D $ 于 $ M $ 点，$ \therefore \triangle C D A \cong \triangle C M B $，$ \therefore \angle C A D = \angle C B M $，$ \therefore A D \perp B D $．

答案： 证明：过 $ C $ 点作 $ C M \perp C D $ 交 $ B D $ 于 $ M $ 点，$ \therefore \triangle C D A \cong \triangle C M B $，$ \therefore \angle C A D = \angle C B M $，$ \therefore A D \perp B D $。

变式 5. 如图,点 $ D $ 在 $ A B $ 上方, $ \angle A D C = 135 ^ { \circ } $,求证： $ A D \perp B D $．

证明：过 $ C $ 作 $ C M \perp C D $，交 $ A D $ 的延长线于 $ M $，易证 $ \triangle A C M \cong \triangle B C D $，$ \therefore \angle C A D = \angle D B C $，$ \therefore A D \perp B D $．

答案： 证明：过 $ C $ 作 $ C M \perp C D $，交 $ A D $ 的延长线于 $ M $，易证 $ \triangle A C M \cong \triangle B C D $，$ \therefore \angle C A D = \angle D B C $，$ \therefore A D \perp B D $。

变式 6. 如图,点 $ D $ 在 $ A B $ 上方, $ A D \perp B D $ 交 $ A C $ 于 $ E $,且 $ B D $ 平分 $ \angle A B C $,求证： $ B E = 2 A D $．
证明：延长 $ A D $，$ B C $ 交于点 $ M $，易证 $ \triangle A B D \cong \triangle M B D $，$ \therefore A D = D M $，又 $ \triangle A C M \cong \triangle B C E $，$ \therefore B E = 2 A D $。

答案： 证明：延长 $ A D $，$ B C $ 交于点 $ M $，易证 $ \triangle A B D \cong \triangle M B D $，$ \therefore A D = D M $，又 $ \triangle A C M \cong \triangle B C E $，$ \therefore B E = 2 A D $。