《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例】如图,$\triangle ABC$中,$BE$为高,点$D在BC$上,$AB= AD$,$\angle CAD= \angle ABE$,$CE= 9$,$AE= 3$,则$\triangle ACD$的面积为____18。

答案： 18
解：过 D 点作 $ DF \perp AC $ 于 F 点，
$ \triangle ADF \cong \triangle BAE $，
$ \therefore DF = AE = 3 $，
$ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 $。

变式1.(2023·武汉)如图,在$\triangle AOB$中,$\angle AOB= 90^{\circ}$,$AO= OB$,点$C在BO$的延长线上,$BD\perp AC于D$点,$\angle OAC= \angle BAD$,$AC= 6$,$AD= 2$,则$\triangle ABD$的面积为____3。

答案： 3
解：延长 OA，BD 相交于点 M，
$ \triangle OAC \cong \triangle OBM $，
$ \therefore BM = AC = 6 $，
又 $ \because \triangle BAD \cong \triangle MAD $，$ BD = 3 $，
$ \therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 $。

变式2.(2025·武汉)如图,$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,$AD垂直于BD$,$\triangle BCD$的面积为10,$\triangle ACD$的面积为6.则$\triangle ABD$的面积是(A)
A.16 B.14 C.13 D.22

答案： A
解：延长 BC 交 AD 的延长线于点 E，
$ \triangle ABD \cong \triangle EBD $，$ AD = DE $，
$ \therefore S_{\triangle CDE} = 6 $，$ \therefore S_{\triangle ABD} = 16 $。

变式3.(2025·武汉)如图,在四边形$ABCD$中,$AC$是对角线,$AB= CD= 10$,$\angle DAC+\angle BCA= 180^{\circ}$,$\angle BAC+\angle ACD= 90^{\circ}$,四边形$ABCD$的面积是(C)
A.25 B.40 C.50 D.100

答案： C
解：延长 BC 于点 E，使 $ CE = AD $，连接 AE，
$ \therefore \triangle ACE \cong \triangle CAD $，
$ \therefore AE = CD = 10 $，
$ \angle B + \angle E = 90^{\circ} $，
$ S_{四边形 ABCD} = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 $。

变式4.如图,$BC\perp CD$,$AC\perp CE$,$BC= CD$,$AC= CE$,$\triangle ABC$的面积为5,则$\triangle CDE$的面积为____5。

答案： 5
解：作 $ AN \perp BC $，$ EM \perp CD $，
垂足分别为 N，M，
$ \triangle CEM \cong \triangle CAN $，$ EM = AN $，
$ S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} CD \cdot EM $
$ = \frac{1}{2} BC \cdot AN = 5 $。