《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例】(2025·当阳)同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动,提出了很多数学问题,请你解答：
(1)如图1,$∠α和∠β$具有怎样的数量关系？请说明理由；
答：$∠α$和$∠β$的数量关系是$∠α+∠β=90^{\circ }$
(2)如图2,$∠DFC的平分线与∠EGC$的平分线相交于点Q,求$∠FQG$的大小；
答：$∠FQG$的大小为$135^{\circ }$
(3)如图3,点P是线段AD上的动点(不与A,D重合),连接PF,PG,$\frac {∠DFP+∠FPG}{∠EGP}$的值是否变化？如果不变,请求出比值；如果变化,请说明理由.
答：$\frac {∠DFP+∠FPG}{∠EGP}$的值不变，比值为1

答案：
(1)证明：$\alpha +\beta =90^{\circ }$，连接$FG$，
则$\angle CFG+\angle FGC=90^{\circ }$，
$\therefore \alpha +\beta =180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$；
(2)设$\angle CFQ=\alpha $，$\angle CGQ=\beta $，
由
(1)知$2\alpha +2\beta =270^{\circ }$，$\alpha +\beta =135^{\circ }$，
在四边形$GCFQ$中，
$\angle FQG=360^{\circ }-90^{\circ }-135^{\circ }=135^{\circ }$；
(3)由题意知：$DF// EG$，设$GP$与$DF$交于点$O$，
$\therefore \angle FOG=\angle EGO$，
$\therefore \frac {\angle DFP+\angle FPG}{\angle EGP}=\frac {\angle GOF}{\angle EGP}=1$，
$\therefore \frac {\angle DFP+\angle FPG}{\angle EGP}$的值不变，且为$1$．

变式.(2025·黄石)定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足$2α+β= 90^{\circ }$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若$△ABC$是“准互余三角形”,$∠C＞90^{\circ },∠A= 56^{\circ }$,则$∠B= $17°；
(2)若$△ABC$是直角三角形,$∠ACB= 90^{\circ }$.
①如图,若AD是$∠BAC$的平分线,请你判断$△ABD$是否为“准互余三角形”？并说明理由；
②点E是边BC上一点,$△ABE$是“准互余三角形”,若$∠B= 28^{\circ }$,求$∠AEB$的度数.

答案： 解：
(1)$\because \triangle ABC$是“准互余三角形”，
$\angle C＞90^{\circ }$，$\angle A=56^{\circ }$，
$\therefore \angle A+2\angle B=90^{\circ }$，$\therefore \angle B=17^{\circ }$；
(2)①$\triangle ABD$是“准互余三角形”，理由：
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，
$\therefore \angle BAC=2\angle BAD$，
$\because \angle ACB=90^{\circ }$，$\therefore \angle BAC+\angle B=90^{\circ }$，
$\therefore 2\angle BAD+\angle B=90^{\circ }$，
$\therefore \triangle ABD$是“准互余三角形”；
②$\because \triangle ABE$是“准互余三角形”，
$\therefore 2\angle EAB+\angle ABC=90^{\circ }$或$\angle EAB+2\angle ABC=90^{\circ }$，
$\because \angle ABC=28^{\circ }$，$\therefore \angle EAB=31^{\circ }$或$\angle EAB=34^{\circ }$，
当$\angle EAB=31^{\circ }$，$\angle ABC=28^{\circ }$时，$\angle AEB=121^{\circ }$，
当$\angle EAB=34^{\circ }$，$\angle ABC=28^{\circ }$时，$\angle AEB=118^{\circ }$，
$\therefore \angle AEB=121^{\circ }$或$118^{\circ }$．