《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例】(2025·汉阳)【问题呈现】借助几何直观探究数量关系,是数形结合的常见方法,图 1,图 2 是用边长为 a,b 的两个正方形和边长为 a,b 的两个长方形拼成的一个大正方形,图 3 是用边长为 a,b 的四个长方形拼成的一个大正方形,利用图形可以推导出 a,b 的关系式为:
图 1:$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$;
图 2:$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$;
图 3:$(a + b)^2-(a - b)^2 = 4ab$.
【解决问题】
(1)直接写出结果:
①若 $ mn = 4,m^{2}+n^{2}= 25 $,则 $ (m + n)^{2}= $33;
②若 $ x + y = 6,x^{2}+y^{2}= 28 $,则 $ xy = $4.
(2)若 $ 3a + 2b = 8,ab = 2 $,求 a,b.
【拓展延伸】如图 4,以 $ Rt\triangle ABC $ 的直角边 AB,BC 为边作正方形 ABFG 和正方形 BCDE.若 $ \triangle ABC $ 的面积为 6, $ CF = 1 $,求正方形 ABFG 的边长.4

答案： 问题呈现
- 图1：大正方形边长为$a + b$，面积为$(a + b)^2$，同时大正方形面积也等于两个小正方形面积与两个长方形面积之和，即$a^{2}+2ab + b^{2}$，所以$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$。
- 图2：大正方形边长为$a + b$，阴影部分正方形边长为$a - b$，大正方形面积$(a + b)^2$，空白部分面积为$4ab$，阴影部分面积$(a - b)^2$，所以$(a - b)^2=(a + b)^2-4ab$。
- 图3：大正方形边长为$2b + a$（这里可能是您描述图形有些误差，假设是边长为$a + b$的大正方形减去中间小正方形（边长$a - b$）等于四个长方形面积），即$(a + b)^2-(a - b)^2 = 4ab$。
解决问题
-
(1)
①根据$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$，已知$mn = 4$，$m^{2}+n^{2}=25$，则$(m + n)^2=25 + 2×4=33$。
②根据$(x + y)^2=x^{2}+2xy + y^{2}$，已知$x + y = 6$，$x^{2}+y^{2}=28$，则$36=28 + 2xy$，解得$xy = 4$。
(2)
由$3a + 2b = 8$得$2b=8 - 3a$，则$b = 4-\frac{3}{2}a$。
把$b = 4-\frac{3}{2}a$代入$ab = 2$得：$a(4-\frac{3}{2}a)=2$。
整理得$3a^{2}-8a + 4 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0$（$A = 3$，$B=-8$，，$C = 4$），根据求根公式x=\frac{-B\，\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}，$\Delta=(-8)^{2}-4×3×4=64 - 48 = 16$。
$a=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×3}=\frac{8\pm4}{6}$，解得$a_1 = 2$，$a_2=\frac{2}{3}$。
当$a = 2$时，b=4-\frac{3}{2}\，×2 = 1；当$a=\frac{2}{3}$时，，，$b=4-\frac{3}{2}×\frac{2}{3}=3$。
拓展，延伸
设$AB = x$，$BC = y$。
因为$\triangle ABC$面积为$6$，所以$\frac{1}{2}xy = 6$，即$xy = 1，2$。
又因为$CF = 1$，由图可知$x-y = 1$（假设$x，\gt y，$）。
根据$(x - y)^2=x^{2}-2xy + y^{2}$，则$x^{2}+y^{2}，=(x - y)^2+2xy=1 + 2×12 = 25$，而$(x + y)^2=x^{2}+2xy + y^{2}=25 + 24 = 4，9$，所以$x + y = 7$（$x，\gt0，y\gt0$）。
联立$\begin{cases}x - y = 1\\x + y = 7\end{cases}$，两式相加得，$2x = 8$，解得$x = 4$。
所以正方形$ABFG$的边长为$4$。
综上，答案依次为：
- 图1：$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$；图2：$(a - b)^2=(a + b)^2-4ab$；图3：$(a + b)^2-(a - b)^2 =，4ab$。
-
(1)①$33$；②$4$。
-
(2)$a = 2，b = 1$或$a=\frac{2}{3}，b = 3$。
- 拓展延伸：正方形$ABFG$的边长为$4$。

变式.(2025·江汉)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AD,DC 上的点,且 $ AE = 2 $, $ CF = 5 $,长方形 DEMF 的面积是 20,分别以 MF,DF 为边长作正方形 MFRN 和正方形 DHGF,直接写出阴影部分的面积.$3\sqrt{89}$

答案： 1. 设$DE = x$，$DF = y$：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，又$AE = 2$，$CF = 5$，则$AD=AE + DE$，$DC = DF+CF$，即$x + 2=y + 5$，所以$x-y=3$。
已知长方形$DEMF$的面积是$20$，根据长方形面积公式$S = DE× DF$，可得$xy = 20$。
2. 求阴影部分面积：
阴影部分面积$S=S_{正方形MFRN}+S_{正方形DHGF}-2S_{长方形DEMF}$。
因为$S_{正方形MFRN}=x^{2}$，$S_{正方形DHGF}=y^{2}$，$S_{长方形DEMF}=xy$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab$。
这里$a = x$，$b = y$，所以$x^{2}+y^{2}-2xy=(x - y)^{2}$。
把$x - y = 3$代入$(x - y)^{2}$。
所以阴影部分的面积为$9$。