《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是\triangle ABC$外一点,且$\angle ABD = \angle ACD = 60^{\circ}$,求证：$AB = BD + DC$。

答案： 证明: 延长 $ BD $ 至 $ M $，使 $ BM = AB $，连接 $ AM $，$ CM $，则 $ \triangle ABM $ 是等边三角形，
$ \therefore AM = AB = AC $，$ \therefore \angle ACM = \angle AMC $，
$ \angle ABM = \angle AMB = \angle ACD $，
$ \therefore \angle DCM = \angle DMC $，
$ \therefore CD = DM $，
$ \therefore AB = BD + DC $。

变式.如图,等边$\triangle ABC$,点$D在AB$上,$DC = DF$,且$AF // BC$,求证：$\angle FDC = 60^{\circ}$。
证明: 过 $ D $ 点作 $ DM \perp AC $，$ DN \perp AF $，垂足分别为 $ M $，$ N $，$ DM = DN $，$Rt \triangle CDM \cong Rt \triangle FDN$$\Rightarrow$$\angle DCA = \angle DFA$$\Rightarrow \angle CDF = 60^{\circ} $。

答案： 证明: 过 $ D $ 点作 $ DM \perp AC $，$ DN \perp AF $，
垂足分别为 $ M $，$ N $，$ DM = DN $，
$ Rt \triangle CDM \cong Rt \triangle FDN \Rightarrow \angle DCA = \angle DFA \Rightarrow \angle CDF = 60^{\circ} $。

【典例2】如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$AB = 6$,点$M是BC$延长线上一点,$\angle AMN = 60^{\circ}$,$MN交\triangle ABC的外角平分线于点N$,求$CN - CM$的值为6。

答案： 解: 方法一: (截取法) 在 $ CN $ 上截取 $ CG = CM $，连接 $ MG $，则 $ \triangle CMG $ 是等边三角形，易证 $ \triangle ACM \cong \triangle NGM $，
$ \therefore NG = AC = 6 $，$ \therefore CN - CM = 6 $；
方法二: (延长法) 延长 $ AC $ 至 $ P $，使 $ CP = CM $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle NCM $，
$ \therefore AP = CN $，$ \therefore CN - CM = 6 $。