《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

11.如图,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },AC= 3$,点 D 为 BC 上一动点,AD 的垂直平分线交 AB 于 F 点,则 BF 的最大值为4.

答案： 4

12.如图,$△ABC$中,$∠C= 45^{\circ },∠ABC= 120^{\circ }$,BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D,交 AC 于 E,AB 的垂直平分线 FH 交 AB 于 F,交 AC 于 H,若$CE= 4$,求 AH 的长.

AH 的长为8.

答案： 解：连$BE$，$BH$，
证$CE=BE$，$BE=\frac{1}{2}BH$，
$BH=AH$，$\therefore AH=8$。

13.如图,在等边$△ABC$中,D,E 分别在 BC,AB 上,连接 AD,CE 交于点 M,$BE= CD.$
(1)求$∠CMD$的度数;60°
(2)过点 A 作$AN⊥CE$于 N,若$MN= 3,DM= 1$,求 CE 的长.7

答案： 解：
(1)$\because$等边$\triangle ABC$，
$\therefore \angle B=\angle ACD=60^{\circ}$，
$BC=AC$，易证$\triangle BCE\cong \triangle CAD$，
$\therefore \angle CMD=60^{\circ}$；
(2)$\because NM=\frac{1}{2}AM$，
$\therefore AM=6$，
$\therefore AD=CE=7$。

14.(2025·仙桃、武汉)如图,等腰直角$△ABC$中,$CA= CB$,D 为$△ABC$内一点,$∠DAB= 15^{\circ },AD= AC,CE⊥AD$于点 E.
(1)若$CE= 5$,求 BC 的长;10
(2)求证:$BD= CD.$
证明：过点$D$作$DM\perp BC$于点$M$，
$\angle DCM=\angle DCE$，$\therefore \triangle DCE\cong \triangle DCM$，
$\therefore CM=CE=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore MC=MB$，$\therefore DC=DB$。

答案：
(1)解：$\angle CAE=30^{\circ}$，$\therefore CE=\frac{1}{2}AC$，
$AC=BC=10$；
(2)证明：过点$D$作$DM\perp BC$于点$M$，
$\angle DCM=\angle DCE$，$\therefore \triangle DCE\cong \triangle DCM$，
$\therefore CM=CE=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore MC=MB$，$\therefore DC=DB$。