《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例】如图,在四边形OACB中,$CM\perp OA$于M,$\angle 1= \angle 2$,$\angle 3+\angle 4= 180^{\circ}$,求证:

(1)$CA= CB$;
(2)$OA+OB= 2OM$.

答案： 1. 证明$CA = CB$：
解：过点$C$作$CE\perp OB$，交$OB$的延长线于点$E$。
因为$CM\perp OA$，$CE\perp OB$，$\angle 1=\angle 2$，根据角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等），所以$CE = CM$。
因为$\angle 3+\angle 4 = 180^{\circ}$，$\angle 4+\angle CBE=180^{\circ}$（邻补角定义），根据“同角的补角相等”，所以$\angle 3=\angle CBE$。
在$\triangle CBE$和$\triangle CAM$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle E=\angle AMC = 90^{\circ}\\\angle CBE=\angle 3\\CE = CM\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle CBE\cong\triangle CAM$。
再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等），所以$CA = CB$。
2. 证明$OA + OB=2OM$：
解：由$\triangle CBE\cong\triangle CAM$，可得$BE = AM$。
因为$CE = CM$，$OC = OC$，$\angle OEC=\angle OMC = 90^{\circ}$，根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），$\triangle OCE\cong\triangle OCM$。
所以$OE = OM$。
又因为$OA=OM + MA$，$OB=OE - BE$，且$BE = AM$，$OE = OM$。
则$OA+OB=(OM + MA)+(OE - BE)=(OM + MA)+(OM - MA)$。
所以$OA + OB = 2OM$。
综上，（1）已证$CA = CB$；（2）已证$OA + OB=2OM$。

变式1.如图,四边形ACBP中,$\angle ACB= \angle APB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,求证:$CP平分\angle APB$.

答案： 1. 首先，过点$C$作$CE\perp PA$于点$E$，作$CF\perp PB$交$PB$的延长线于点$F$：
因为$\angle ACB = \angle APB=90^{\circ}$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，在四边形$CEPF$中，$\angle ECF + \angle APB+\angle CEA+\angle CFB = 360^{\circ}$，又$\angle CEA=\angle CFB = 90^{\circ}$，所以$\angle ECF = 90^{\circ}$，即$\angle ECA+\angle ACF = 90^{\circ}$，同时$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle FCB+\angle ACF = 90^{\circ}$。
由此可得$\angle ECA=\angle FCB$。
2. 然后，证明$\triangle ACE\cong\triangle BCF$：
已知$AC = BC$，$\angle CEA=\angle CFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACE$和$\triangle BCF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CEA=\angle CFB\\\angle ECA=\angle FCB\\AC = BC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle BCF$。
3. 最后，根据全等三角形的性质得出结论：
因为$\triangle ACE\cong\triangle BCF$，所以$CE = CF$（全等三角形对应边相等）。
又因为$CE\perp PA$，$CF\perp PB$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），所以点$C$在$\angle APB$的平分线上，即$CP$平分$\angle APB$。
另一种方法：
1. 利用圆周角定理：
因为$\angle ACB=\angle APB = 90^{\circ}$，所以$A$，$C$，$B$，$P$四点共圆（直径所对的圆周角是直角，$AB$为直径）。
又因为$AC = BC$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。
根据圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等），$\angle APC=\angle BPC$。
所以$CP$平分$\angle APB$。

变式2.(2025·新洲)如图,$AC= BC$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$D在CB$的延长线上,连接$AD$,过$B作BE\perp BA$,连接$DE$,若$AD= ED$.求证:$DE\perp DA$.

答案： 1. 首先，过点$E$作$EF\perp CD$于点$F$：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BE\perp BA$，所以$\angle ABC+\angle CAB = 90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle EBF = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle CAB=\angle EBF$。
又因为$EF\perp CD$，所以$\angle EFB=\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ACB=\angle BFE\\\angle CAB=\angle FBE\\AC = BC\end{array}\right.$。
由$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ABC\cong\triangle BEF$。
所以$AC = BF$，$BC = EF$。
因为$AC = BC$，所以$BC = BF$，$EF = AC=BC$。
那么$CF = 2BC$，$CD=CB + BD$，$FD=FB + BD$，所以$CD = FD$。
2. 然后，在$\triangle ACD$和$\triangle EFD$中：
已知$AD = ED$，$CD = FD$，$\angle ACD=\angle EFD = 90^{\circ}$。
根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）可得$\triangle ACD\cong\triangle EFD$。
所以$\angle ADC=\angle EDF$。
3. 最后，求$\angle ADE$的度数：
因为$\angle ADE=\angle ADC+\angle CDE$，$\angle EDF+\angle CDE=\angle FDC = 90^{\circ}$（$EF\perp CD$，$\angle EFD = 90^{\circ}$，$CD = FD$，$\triangle FCD$是等腰直角三角形，$\angle FDC = 90^{\circ}$）。
所以$\angle ADE = 90^{\circ}$，即$DE\perp DA$。
综上，$DE\perp DA$得证。

变式3.(2025·阳逻)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$E是线段AB$上一点,$CE\perp CF$,且$CE= CF$,过点$F作FD\perp FC交CA的延长于点D$,过点$E作EG\perp EC交BC于点G$,连接$DG$.若$DF= 7$,$EG= 1$,求$DG$的长.

答案： 1. 首先，证明$\triangle ACE\cong\triangle DCF$和$\triangle ACE\cong\triangle BCG$：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$CE\perp CF$，$FD\perp FC$，$EG\perp EC$，$\angle ACB=\angle ABC = 45^{\circ}$。
对于$\triangle ACE$和$\triangle DCF$：
$\angle ACE+\angle ECF=\angle DCF+\angle ECF = 90^{\circ}$，所以$\angle ACE=\angle DCF$。
又因为$\angle BAC=\angle DFC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle DCF+\angle D=\angle ACE+\angle AEC = 90^{\circ}$，所以$\angle D=\angle AEC$。
已知$CE = CF$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等），可得$\triangle ACE\cong\triangle DCF$。
由$\triangle ACE\cong\triangle DCF$，则$AC = DC$，$AE = DF$。
对于$\triangle ACE$和$\triangle BCG$：
$\angle ACE+\angle ECB=\angle BCG+\angle ECB = 45^{\circ}$，所以$\angle ACE=\angle BCG$。
$\angle BAC=\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle AEC+\angle BEC=\angle BGC+\angle BEC = 180^{\circ}$，所以$\angle AEC=\angle BGC$。
又$CE = CG$（因为$CE = CF$，$\triangle ACE\cong\triangle DCF$，$\triangle BCG$与$\triangle ACE$的关系），根据$AAS$，可得$\triangle ACE\cong\triangle BCG$，则$AE = BG$。
2. 然后，求$DG$的长：
因为$AC = DC$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle DCG=\angle DCA+\angle ACB$，$\angle DCA = 90^{\circ}$，所以$\angle DCG = 135^{\circ}$，$\angle BCG = 45^{\circ}$，$\angle DCG = 90^{\circ}$。
已知$DF = 7$，$EG = 1$，由$\triangle ACE\cong\triangle DCF$得$AE = DF = 7$，由$\triangle ACE\cong\triangle BCG$得$BG = AE = 7$，$CG = CE$，又$CE = CF$，$EG = 1$，$CG=CE$。
在$Rt\triangle DCG$中，根据勾股定理$DG=\sqrt{DC^{2}+CG^{2}}$。
因为$DC = AC$，$AE = DF = 7$，$BG = 7$，$CG = CE$，$EG = 1$，且$DC = AC$，$CG = CE$，$\triangle DCG$中，$DC = AC$，$CG$与$AE$、$BG$有关系。
由$\triangle ACE\cong\triangle DCF$和$\triangle ACE\cong\triangle BCG$，可得$DG=\sqrt{DF^{2}+EG^{2}}$（因为$DC = AC$，$CG = CE$，通过全等转化边的关系）。
把$DF = 7$，$EG = 1$代入$DG=\sqrt{DF^{2}+EG^{2}}$，根据勾股定理$a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$（这里$b = DF$，$c = EG$），则$DG=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{49 + 1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
所以$DG$的长为$5\sqrt{2}$。