《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,$AC⊥BC$,$AC= BC$,$BE⊥BC$,$AD⊥CE$交BC于D,求证：$BE= CD$。

证明:证明$∠BCE=∠A$,再证$△ACD\cong △CBE(ASA)$,$\therefore BE=CD.$

答案： 解：
因为$AC\perp BC$，$BE\perp BC$，$AD\perp CE$，
所以$\angle ACB = \angle B = 90^{\circ}$，$\angle ADC+\angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle ADC+\angle BDE = 90^{\circ}$，
所以$\angle CAD=\angle BDE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}\angle CAD=\angle BDE\\\angle ACB=\angle B\\AC = BC\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)$，
所以$BE = CD$。

【典例2】如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$AB⊥AC$,过A作直线l,$BD⊥l$于D,$CE⊥l$于E,求证：$DE= BD+CE$。

答案： 解：
因为$BD\perp l$，$CE\perp l$，$AB\perp AC$，
所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle CAE=90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，
所以$\angle CAE=\angle ABD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，
$\begin{cases}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
所以$AD = CE$，$BD = AE$。
因为$DE=AD + AE$，
所以$DE=BD + CE$。

变式1.如图,$AC⊥BC$,$AC= BC$,$AM⊥CM$,$S_{△BCM}= 8$,求CM的长。

答案： 1. 首先，过点$B$作$BN\perp CM$交$CM$的延长线于点$N$：
因为$AC\perp BC$，$AM\perp CM$，$BN\perp CM$，所以$\angle AMC=\angle CNB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ACM+\angle BCN = 90^{\circ}$，$\angle BCN+\angle CBN = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle ACM=\angle CBN$。
已知$AC = BC$。
在$\triangle ACM$和$\triangle CBN$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AMC=\angle CNB\\\angle ACM=\angle CBN\\AC = BC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ACM\cong\triangle CBN$。
则$AM = CN$，$CM = BN$。
2. 然后，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）：
已知$S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}CM\cdot BN$，因为$CM = BN$，设$CM=x$，则$S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}x\cdot x$。
又因为$S_{\triangle BCM}=8$，所以$\frac{1}{2}x^{2}=8$。
方程两边同时乘以$2$得$x^{2}=16$。
解得$x = 4$或$x=-4$（线段长度不能为负）。
所以$CM$的长为$4$。

变式2.如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,$BE⊥CE$于E,$AD⊥CE$于D,$AD= 7$,$BE= 3$。求$△BDE$的面积。

解:证$△ACD\cong △CBE,AD=CE=7,$$CD=BE=3,$$\therefore S_{△BDE}=\frac {1}{2}DE\cdot BE=$6.

答案： 1. 首先证明$\triangle ACD\cong\triangle CBE$：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$。
又因为$AD\perp CE$，$BE\perp CE$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$。
则$\angle CAD=\angle BCE$（同角的余角相等）。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACD\cong\triangle CBE$。
由全等三角形的性质可知$CD = BE$，$AD = CE$。
2. 然后求$DE$的长度：
已知$AD = 7$，$BE = 3$，因为$CD = BE$，$AD = CE$，所以$CE=7$，$CD = 3$。
那么$DE=CE - CD$，即$DE=7 - 3=4$。
3. 最后求$S_{\triangle BDE}$：
因为$BE\perp CE$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = DE$，$h = BE$）。
所以$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}× DE× BE$。
把$DE = 4$，$BE = 3$代入公式，得$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
故$\triangle BDE$的面积是$6$。

变式3.如图,$AC= BC$,$AC⊥BC$,$CE= CF$,$CE⊥CF$,延长EC交BF于M点,求证：$BM= FM$。

证明:过B点作$BH⊥CM$交直线CM于H点,证$△ACE\cong △CBH,\therefore BH=CE=CF$,可证$△BHM\cong △FCM,\therefore BM=FM.$

答案： 解：
因为$AC\perp BC$，$CE\perp CF$，所以$\angle ACB=\angle ECF = 90^{\circ}$。
则$\angle ACB+\angle BCE=\angle ECF+\angle BCE$，即$\angle ACE=\angle BCF$。
又因为$AC = BC$，$CE = CF$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ACE\cong\triangle BCF$。
所以$\angle AEC=\angle BFC$。
因为$CE\perp CF$，$AC\perp BC$，所以$AE// CM$。
则$\angle AEC=\angle MCE$，又因为$\angle AEC=\angle BFC$，所以$\angle MCE=\angle BFC$。
在$\triangle CMF$中，$\angle MCE=\angle BFC$，所以$CM = CF$。
又因为$CE = CF$，所以$CM = CE$。
因为$AE// CM$，所以$\triangle BCM\sim\triangle BAE$。
设$CM = x$，$AE = y$，因为$\triangle ACE\cong\triangle BCF$，所以$AE = BF = y$。
又因为$CM// AE$，$AC = BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BM}{BF}=\frac{BC}{BA}$，且$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}$（因为$AC = BC$，$\triangle ABC$是等腰直角三角形）。
所以$BM=\frac{1}{2}BF$，即$BM = FM$。
综上，$BM = FM$得证。

变式4.如图,$CA= CB$,$CA⊥CB$,$CE= EF$,$CE⊥EF$,连接BF交CE于M点,求证：$BM= FM$。

答案： 1. 首先，过点$F$作$FD// BC$交$CE$的延长线于点$D$：
因为$FD// BC$，所以$\angle BCM=\angle D$。
已知$CE\perp EF$，$CA\perp CB$，则$\angle CEA + \angle FED=90^{\circ}$，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle DEF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BCA=\angle DEF$，$\angle BCM=\angle D$，在$\triangle BCM$和$\triangle FDM$中，$\angle BMC=\angle FMD$（对顶角相等）。
由于$\angle CEA+\angle BCM = 90^{\circ}$，$\angle FED+\angle D+\angle EFD = 90^{\circ}$，且$\angle BCM=\angle D$，所以$\angle CEA=\angle EFD$。
因为$\angle CEA$与$\angle FED$是对顶角，所以$\angle CEA=\angle FED$，则$\angle EFD=\angle FED$，所以$CE = EF$（等角对等边）。
2. 然后，证明$\triangle BCM\cong\triangle FDM$：
在$\triangle BCM$和$\triangle FDM$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BCM=\angle D\\\angle BMC=\angle FMD\\CE = EF\end{array}\right.$（已证$\angle BCM=\angle D$，$\angle BMC=\angle FMD$，$CE = EF$，由$FD// BC$可得$\angle BCM$与$\angle D$相等，对顶角$\angle BMC$与$\angle FMD$相等）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）判定定理，$\triangle BCM\cong\triangle FDM$。
3. 最后，得出结论：
因为$\triangle BCM\cong\triangle FDM$，根据全等三角形的对应边相等，所以$BM = FM$。
另一种方法：
1. 过点$F$作$FN\perp CE$交$CE$的延长线于$N$，过点$B$作$BH\perp CE$于$H$：
因为$CA\perp CB$，$BH\perp CE$，所以$\angle BCH+\angle ACH = 90^{\circ}$，$\angle ACH+\angle CAH = 90^{\circ}$，则$\angle BCH=\angle CAH$。
在$\triangle BCH$和$\triangle CAE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BHC=\angle CEA = 90^{\circ}\\\angle BCH=\angle CAE\\BC = CA\end{array}\right.$（已知$BC = CA$，$\angle BHC=\angle CEA = 90^{\circ}$，已证$\angle BCH=\angle CAE$）。
根据$AAS$判定定理，$\triangle BCH\cong\triangle CAE$，所以$BH = CE$。
又因为$CE = EF$，所以$BH = EF$。
因为$BH\perp CE$，$FN\perp CE$，所以$\angle BHM=\angle FNM = 90^{\circ}$。
在$\triangle BHM$和$\triangle FNM$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BHM=\angle FNM\\\angle BMH=\angle FMN\\BH = EF\end{array}\right.$（对顶角$\angle BMH=\angle FMN$，已证$\angle BHM=\angle FNM = 90^{\circ}$，$BH = EF$）。
根据$AAS$判定定理，$\triangle BHM\cong\triangle FNM$。
所以$BM = FM$。