《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

1.如图,等边$\triangle ABC$的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC上一点,$AE= 2$,当$EF+CF$取得最小值时,则$∠ECF$的度数为____$30^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$

2.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 3$,$AC= 4$,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则$AP+BP$的最小值是(A)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： A

3.无刻度尺作图.
(1)如图1,在x轴作点D,使$AD+BD$最小；
(2)如图2,在AC上作点F,使$BF+EF$最小；
(3)如图3,在BC上作点F,使$AF+EF$最小；
(4)如图4,在AB上找点P,使$∠APD= ∠BPC$.

答案：
如图所示.

4.(2022·青山)如图,$\triangle ABC$中,$AC= 8$,$AB= 10$,$\triangle ABC$的面积为30,AD平分$∠BAC$,F,E分别为AC,AD上两动点,连接CE,EF,则$CE+EF$的最小值为6.

答案： 6

5.如图,$∠AOB= 30^{\circ }$,点P为$∠AOB$内一点,$OP= 10$,点M,N分别在OA,OB上,求$\triangle PMN$周长的最小值.

解:分别作点 $P$ 关于 $OA$, $OB$ 的对称点 $P_1$, $P_2$, 连 $P_1P_2$, 交 $OA$ 于 $M$, 交 $OB$ 于 $N$，$\triangle PMN$ 的周长 $=P_1P_2$，$\therefore P_1P_2 =$10，$OP_1 = OP_2 = OP = 10$.

答案： 解:分别作点 $P$ 关于 $OA$, $OB$ 的对称点 $P_1$, $P_2$, 连 $P_1P_2$, 交 $OA$ 于 $M$, 交 $OB$ 于 $N$，$\triangle PMN$ 的周长 $=P_1P_2$，$\therefore P_1P_2 = OP_1 = OP_2 = OP = 10$.

6.如图,在四边形ABCD中,$∠A= ∠C= 90^{\circ }$,$∠ABC= \alpha $,在AB,BC上分别找点E,F,使$\triangle DEF$的周长最小,此时$∠EDF= $$180^{\circ}-2\alpha$.

答案： $180^{\circ}-2\alpha$
解: 延长 $DA$ 至 $M$, 使 $AM = AD$，延长 $DC$ 至 $N$, 使 $CN = DC$，连 $MN$ 交 $AB$ 于 $E$, 交 $BC$ 于 $F$，连 $BM$, $BD$, $BN$, $DE$, $DF$，$\because \angle ABC = \alpha$，$\therefore \angle MBN = 2\alpha$，又 $\angle EDB = \angle EMB$，$\angle BDF = \angle BNF$，$\therefore \angle EDF = \angle EDB + FDB = \angle BMN + \angle BNM = 180^{\circ}- \angle MBN = 180^{\circ}- 2\alpha$.