《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

问题:如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC = 2∠C$,若$AD平分∠BAC交BC于点D$,求证:$AB + BD = AC$.

答案： 方法一：(延长法)延长AB至E，使BE=BD，连接DE.
证△AED≌△ACD即可.
方法二：(截取法)在AC上截取AE=AB，连接DE，
证△ABD≌△AED即可.

变式1.如图,$P为\triangle ABC$角平分线的交点,$∠CAB = 2∠ABC$,求证:$BC = AC + AP$.

答案： 方法1(截长法)：在BC上取CM=AC，连接PM，△APC≌△MPC，
∴AP=PM=BM，
∴BC=AC+AP.
方法2(补短法)：延长CA至N点，使CN=CB，
∴△CPN≌△CPB，
∴∠N=∠PBC⇒AP=AN，
∴BC=AC+AP.

变式2.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$D在BC$上,$∠ABC = 2∠CAD$.求证:$BD = 2BC - AB$.


证明：延长BC至E，使CE=BC，
设∠CAD=α，
则∠ABC=2α，∠BAC=90°-2α，
∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-2α-α=90°-3α，
∠ADC=90°-α，
∠E=∠ABC=2α，
∠EAD=∠ADC-∠E=90°-α-2α=90°-3α，
∴∠EAD=∠BAD，
又∵AC⊥BE，BC=CE，
∴AB=AE，
在△AED中，∠EAD=∠ADE=90°-3α，
∴AE=ED，
∴ED=AB，
∵ED=EC+CD=BC+CD，
BD=BC-CD，
∴ED+BD=BC+CD+BC-CD=2BC，
∴BD=2BC-ED=2BC-AB.

答案： 解：延长BC至E，使CE=BC，
设∠CAD=α，
∠ADC=90°−α，
∠EAD=90°−α，
∴AB=AE=ED，
∴BD=2BC−AB.