《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

8.如图,AP平分∠BAC,AC= 9,AB= 5,PB= 3,则PC的长可能是(A)

A.6
B.8
C.9
D.10

答案： A
解：在$AC$上取一点$E$使$AE=AB$，连接$PE$，$\triangle AEP\cong \triangle ABP$，$PE=PB=3$，$\therefore 1\lt PC\lt 7$。

9.如图,点G在AB的延长线上,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,连接CF.若∠AFB= 40°,则∠BCF的度数为50°.

答案： $50^{\circ}$
解：易知点$F$在$\angle BCE$的平分线上，$\angle ACB=80^{\circ}$，$\therefore \angle BCF=50^{\circ}$。

10.用圆规与直尺作图:如图,在MN上找一点P,使P到直线AB和射线OC的距离相等,其中点O在AB上.(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
如图所示。
提示：作$\angle AOC$或$\angle BOC$的角平分线与$MN$的交点即为所求。

11.(教材P53T8变式)如图,四边形ABDC中,∠D= ∠ABD= 90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:OC平分∠ACD;
证明：作OE⊥AC于E，证OB=OE=OD
(2)求证:AB+CD= AC.
证明：证AB=AE，CD=CE

答案： 证明：
(1)作$OE\perp AC$于$E$，证$OB=OE=OD$；
(2)证$AB=AE$，$CD=CE$。

12.模型:(1)如图1,四边形APBC中,∠ACB= ∠APB= 90°,PA= PB,求证:PC平分∠ACB;
证明：作$PE\perp AC$，$PF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$，$\triangle PAE\cong \triangle PBF(AAS)$，$\therefore PE=PF$，$\therefore PC$平分$\angle ACB$
运用:(2)如图2,在(1)条件下,求证:PC平分∠ACB的外角;
证明：方法同上
拓展:(3)如图3,CA= CB,CD= CE,∠ACB= ∠DCE= α,AD,BE交于点H,连CH.求证:CH平分∠AHE.
证明：作$CM\perp AD$于$M$，$CN\perp BE$于$N$，证$\triangle ACD\cong \triangle BCE$，再证$\triangle ACM\cong \triangle BCN$ (或证$\triangle ECN\cong \triangle DCM$)，$CM=CN$，$\therefore CH$平分$\angle AHE$
方法归类 几何模型

答案： 证明：
(1)作$PE\perp AC$，$PF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$，$\triangle PAE\cong \triangle PBF(AAS)$，$\therefore PE=PF$，$\therefore PC$平分$\angle ACB$；
(2)方法同上；
(3)作$CM\perp AD$于$M$，$CN\perp BE$于$N$，证$\triangle ACD\cong \triangle BCE$，再证$\triangle ACM\cong \triangle BCN$ (或证$\triangle ECN\cong \triangle DCM$)，$CM=CN$，$\therefore CH$平分$\angle AHE$。
方法归类 几何模型