《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例】(2025·宜城)综合与实践:
【问题情境】(1)对于一个图形,如图 1,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;
【探究实践】
(2)类比图 1,写出图 2 中所表示的数学等式$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$;
(3)利用(2)中得到的结论,解决问题:若 $ a + b + c = 8 $, $ ab + bc + ac = 25 $,求 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $的值.

答案：
(1)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；
(2)$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$；
(3)由
(2)知$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$，
$\because a+b+c=8$，$ab+bc+ac=25$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)=8^{2}-2×25=14$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2ab-2bc-2ac$的值为 14．

(1)图 1 是由四个全等的直角三角形(边长分别为 $ a $, $ b $, $ c $,且 $ a ＜ b ＜ c $)和一个小正方形拼成的大正方形,利用图 1 验证公式的方法求出 $ a $, $ b $, $ c $ 满足的等量关系式为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2)如图 1,在(1)的条件下,若 $ a + b = 7 $, $ c = 5 $,求阴影部分的面积为1；
(3)如图 2,以(1)中 $ a $, $ b $, $ c $ 为边作三个正方形,并将以 $ a $, $ b $ 为边的两个小正方形放置于以 $ c $ 为边长的大正方形内,若阴影部分的面积为 1,求四边形 $ ABCD $ 的面积为0.5.

答案： 解：
(1)$\because$从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，$\therefore$大正方形面积可表示为：$\frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$，
$\therefore \frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}=c^{2}$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2)$\because c=5$，$\therefore c^{2}=25$，$\therefore a^{2}+b^{2}=25$，
$\because a+b=7$，$\therefore (a+b)^{2}=49$，
$\therefore 25+2ab=49$，$\therefore 2ab=24$，
$\because S_{阴影}=(b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab$，
$\therefore S_{阴影}=25-24=1m^{2}$；
(3)$\because$图 2 中两个长方形的边长均为$c-a$和$c-b$，
$\therefore$两个长方形的面积相等，
$\therefore S_{阴影}=a^{2}+b^{2}+2×S_{四边形 ABCD}-c^{2}$，
$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$S_{阴影}=1$，$\therefore 2S_{四边形 ABCD}=1$，
$\therefore S_{四边形 ABCD}=0.5$．