《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在AB$上,点$E在AC$的延长线上,且$BD = CE$,$DE交BC于F$,求证：$DF = EF$．


证明:证法一:作 $ DM // AC $ 交 $ BC $ 于 $ M $,证$\triangle DMF \cong \triangle ECF$;
证明:证法二:作 $ EN // AB $ 交 $ BC $ 的延长线于 $ N $,证$\triangle DBF \cong \triangle ENF$.
证法三:作 $ DG \perp BC $ 于 $ G $,$ EH \perp BC $ 于 $ H $,证$\triangle BDG \cong \triangle CEH$,$\triangle DGF \cong \triangle EHF$.

答案： 证明:证法一:作 $ DM // AC $ 交 $ BC $ 于 $ M $,证 $ \triangle DMF \cong \triangle ECF $;
证明:证法二:作 $ EN // AB $ 交 $ BC $ 的延长线于 $ N $,证 $ \triangle DBF \cong \triangle ENF $.
证法三:作 $ DG \perp BC $ 于 $ G $,$ EH \perp BC $ 于 $ H $,证 $ \triangle BDG \cong \triangle CEH $,$ \triangle DGF \cong \triangle EHF $.

变式.如图,$AB = CE$,且$\angle A+\angle ACE = 180^{\circ}$,$AC交BE于M$,求证：$BM = EM$．


证明:(割大)方法 1:作$ BG // CE $ 交 $ AC $ 于 $ G $,证$ \triangle BGM \cong \triangle ECM $.
证明:(补小)方法 2:过 $ E $ 点作$ EF // AB $ 交 $ AC $ 的延长线于 $ F $ 点.证$ \triangle ABM \cong \triangle FEM $.

答案： 证明:(割大)方法 1:作 $ BG // CE $ 交 $ AC $ 于 $ G $,证 $ \triangle BGM \cong \triangle ECM $.
证明:(补小)方法 2:过 $ E $ 点作 $ EF // AB $ 交 $ AC $ 的延长线于 $ F $ 点.证 $ \triangle ABM \cong \triangle FEM $.

【典例2】如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AC$上,点$E在AB$上,$\angle CDE= \angle B$,$DE = BC$,求证：$AC = AE$．


证明:方法 1:在 $ AB $ 上取点 $ M $,使 $ BC = CM $,证$\triangle ACM \cong \triangle AED$,$\therefore AC = AE $.
证明:方法 2:在 $ AB $ 延长线上取点 $ M $,使 $ CM = AC $,则$\triangle ADE \cong \triangle MBC$,$ CM = AE = AC $.

答案： 证明:方法 1:在 $ AB $ 上取点 $ M $,使 $ BC = CM $,证 $ \triangle ACM \cong \triangle AED $,
$ \therefore AC = AE $.
证明:方法 2:在 $ AB $ 延长线上取点 $ M $,使 $ CM = AC $,则 $ \triangle ADE \cong \triangle MBC $,$ CM = AE = AC $.