《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】(2021·洪山)如图,$\angle AOC= \angle BOC= 10^{\circ}$,$OC= 20$,在$OA上找一点M$,在$OB上找一点N$,则$CM+MN$的最小值是(D)

A.20
B.16
C.12
D.10

答案： 【典例 1】D

变式.在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,$BC= 2$,点$D在射线CB$上,连$AD$,将$AD逆时针旋转60^{\circ}得AE$,连$CE$,当$CE$最小时,求$CD$=3.

答案： 变式.解:作 $ BM = AB $，
则 $ \triangle ABD \cong \triangle AME $，
$ \therefore \angle BME = 60^{\circ} $，
点 $ E $ 在过 $ M $ 点且与 $ AB $ 平行直线上运动，当 $ CE \perp EM $ 最小，$ EM = BD = 1 $，$ CD = 3 $。

【典例2】(2022·江岸)(胡不归问题)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 45^{\circ}$,$AB= 4$,点$P为直线BC$上一点,当$BP+2AP$有最小值时,$\angle BAP$的度数为$15^{\circ}$.

答案： 【典例 2】$ 15^{\circ} $
解:作 $ \angle CBD = 30^{\circ} $，$ AN \perp BD $ 于点 $ N $，
$ PM \perp BD $ 于点 $ M $，
$ BP + 2AP = 2\left(AP + \frac{1}{2}BP\right) $
$ = 2(AP + PM) $，
故 $ A $，$ P $，$ M $ 三点共线时最小，
即 $ M $ 位于 $ N $ 处时最小，
$ \therefore \angle BAP = 90^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ} $。