《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

1.在$\triangle ABC$中,若$∠B= 50^{\circ },∠C= 65^{\circ }$,则$\triangle ABC$的形状是等腰三角形.

答案： 等腰三角形

2.在$\triangle ABC$中,若$∠A:∠B:∠C= 3:2:2$,则$\triangle ABC$的形状是等腰三角形.

答案： 等腰三角形

3.如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ }$,BD平分$∠ABC$,则图中共有3个等腰三角形.

答案： 3

4.如图,已知$\triangle ABC$的角平分线 CD 交 AB 于 D,$DE// BC$交 AC 于 E,若$DE= 3,AE= 4$,则$AC=$7

答案： 7

5.如图,$AD// BC$,BD平分$∠ABC$,则下列结论正确的是(C)

A.$BD= BC$
B.$AD= CD$
C.$AB= AD$
D.$AB= CD$

答案： C

6.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点 D 在 AB 上,$AD= CD$,求证:则下列结论正确的是(A)

A.$AD= BD$
B.$AB= 2BC$
C.$CD= BC$
D.$BD= BC$

答案： A

7.已知:在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 D 在 AC 上,$AD= BD= BC$.
(1)求$∠BCD$的大小;$72^{\circ }$
(2)点 E 在 BC 的延长线上,且$BD= DE$,求证:$CD= CE$.
证明:$\angle DBC=\angle DEC=36^{\circ }$，$\therefore \angle CDE=36^{\circ }\Rightarrow CD=CE$

答案：
(1)解:$\angle BCD=72^{\circ }$;
(2)证明:$\angle DBC=\angle DEC=36^{\circ }$,
$\therefore \angle CDE=36^{\circ }\Rightarrow CD=CE$.

8.如图,已知 CE 为$\triangle ABC$的角平分线,D 为 BC 上一点,AD 交 CE 于 F.若$∠BAC= ∠ADC= 90^{\circ }$.求证:$AE= AF$.
证明:$\angle DAC=\angle B$,
$\angle AFE=\angle DAC+\angle ACE$,
$\angle AEF=\angle B+\angle BCE$,
$\therefore \angle AFE=\angle AEF$,
$\therefore AE=AF$.

答案： 证明:$\angle DAC=\angle B$,
$\angle AFE=\angle DAC+\angle ACE$,
$\angle AEF=\angle B+\angle BCE$,
$\therefore \angle AFE=\angle AEF$,
$\therefore AE=AF$.

9.如图,$\triangle ABC$中,BO平分$∠ABC$,CO平分$∠ACB$,MN 经过点 O,且$MN// BC$分别交 AB,AC于 M,N.
(1)求证:$MN= BM+CN;$
证明:$\because BO$平分$\angle ABC$,$CO$平分$\angle ACB$,$\therefore \angle MBO=\angle OBC$,$\angle OCB=\angle NCO$,
又$\because MN// BC$,$\therefore \angle MBO=\angle OBC=\angle BOM$,$\angle NCO=\angle OCB=\angle NOC$,$\therefore MB=MO$,$NO=CN$,$\therefore MN=MO+NO=BM+CN$;
(2)若$AB= 12,AC= 18$,求$\triangle AMN$的周长.
解:由(1)知$AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=30$，故$\triangle AMN$的周长为30.

答案： 解:
(1)$\because BO$平分$\angle ABC$,$CO$平分$\angle ACB$,$\therefore \angle MBO=\angle OBC$,$\angle OCB=\angle NCO$,
又$\because MN// BC$,$\therefore \angle MBO=\angle OBC=\angle BOM$,$\angle NCO=\angle OCB=\angle NOC$,$\therefore MB=MO$,$NO=CN$,$\therefore MN=MO+NO=BM+CN$;
(2)由
(1)知$AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=30$.

13.(1)如图 1,在$\triangle ABC$中,$∠C= 3∠B$,AD 平分$∠BAC$交 BC 于 D 点,$DE⊥AD$交 AB 于点 E,求证:$BE= DE;$
(2)如图 2,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$交 BC 于点 D,$BE⊥AB$交 AD 的延长线于点 E,$EF⊥BD$于 F,求证:$CD= BF$.

答案： 证明:
(1)设$\angle B=\alpha$,$\angle C=3\alpha$,
$\therefore \angle DAE=\frac {180^{\circ }-4\alpha }{2}=90^{\circ }-2\alpha$,
$\therefore \angle DEA=2\alpha =\angle B+\angle BDE\Rightarrow$
$\angle BDE=\alpha =\angle B$,
$\therefore DE=BE$.
(2)设$\angle BAD=\alpha$,$\therefore \angle AEB=90^{\circ }-\alpha$,
$\angle EDB=90^{\circ }-\alpha$,$\therefore BD=BE$,
过点$D$作$DM\perp AB$于点$M$,$\therefore CD=DM$,
又$\because \triangle BDM\cong \triangle EBF$,$\therefore BF=DM=CD$.