《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

变式 1.如图 1,$\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $BC$ 的中点。$AB = 5$,$AC = 3$,则 $AD$ 的取值范围为$1＜AD＜4$。

答案： $ 1 ＜ A D ＜ 4 $

变式 2.如图 2,点 $D$ 为 $BC$ 的中点,$DE \perp DF$ 交 $AB$ 于 $E$,交 $AC$ 于 $F$,连 $EF$,若 $BE = 5$,$CF = 3$,求 $EF$ 的取值范围为$ 2 ＜ E F ＜ 8 $。

答案： $ 2 ＜ E F ＜ 8 $

变式 3.如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,$CE = AB$,$\angle BAC = \angle BCA$,求证：$AE = 2AD$。

答案： 证明：延长 $ A D $ 至 $ M $，使 $ D M = A D $，连接 $ C M $，
$ \therefore \triangle A B D \cong \triangle M C D $，$ \therefore A B = C M = C E $，
$ \therefore \angle B A D = \angle M $，
$ \therefore \angle B A C = \angle B A D + \angle D A C = \angle M + \angle D A C = \angle A C B $，
$ \because \angle A C B + \angle A C E = 180 ^ { \circ } $，
$ \angle M + \angle D A C + \angle A C M = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C M = \angle A C E $，
$ \therefore \triangle A C M \cong \triangle A C E $，
$ \therefore A E = A M = 2 A D $。

变式 4.如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$AE \perp AC$,$AF \perp AB$,且 $AE = AC$,$AF = AB$。

求证：$AD = \frac{1}{2}EF$。

答案： 证明：延长 $ A D $ 至 $ G $，使 $ D G = A D $，连接 $ C G $，
易证 $ \triangle A D B \cong \triangle G D C $，
再证 $ \triangle E A F \cong \triangle A C G $，
$ \therefore E F = A G = 2 A D $。

思考：若 $S_{\triangle AEF} = 5$,则 $\triangle ACB$ 的面积为多少？

答案： 本题条件不足，无法求出$\triangle ACB$的面积。