《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,$\triangle ABC三条角平分线相交于O$,$OE\perp BC$。
(1)$\angle BAC= 50^{\circ}$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,则$\angle COE$的大小为____55°；
(2)$\angle BOD= \alpha$,求$\angle COE$的大小。

答案：
(1)$55^{\circ }$
(2)设$∠BAD=∠CAD=β,∠ABG=∠CBG=γ,$
则$∠BOD=α=β+γ,∠BCO=90^{\circ }-β-γ=90^{\circ }-α,$
$∠COE=90^{\circ }-(90^{\circ }-α)=α.$

变式1.(2023·华源)在$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,$CE平分\angle ACB$,$BD与CE交于点M$。
(1)如图1,若$\angle ABC= 70^{\circ}$,$\angle ACB= 50^{\circ}$,求$\angle BMC$的度数；$120^{\circ}$
(2)如图2,若$MN\perp BC于N$,$\angle A= 60^{\circ}$,求$\angle 1-\angle 2$的值；$30^{\circ}$
(3)若$\angle BEC= x$,$\angle BDC= y$,那么$\angle BMC= $____$60^{\circ }+\frac {x+y}{3}$。

答案： 解:
(1)$∠BMC=120^{\circ };$
(2)$∠1-∠2=30^{\circ }.$
(3)设$∠ABD=α,∠ACE=β,$
$\therefore x+2α+β=180^{\circ },y+α+2β=180^{\circ },$
$\therefore x+y+3(α+β)=360^{\circ },$
而$∠BMC=180^{\circ }-(α+β),$
$\therefore ∠BMC=60^{\circ }+\frac {x+y}{3}$

变式2.(2025·武昌)如图,已知点$P为\triangle ABC三条内角平分线AD$,$BE$,$CF$的交点,作$DG\perp PC于G$,则$\angle PDG$等于(A)
A.$\angle ABE$
B.$\angle DAC$
C.$\angle BCF$
D.$\angle CPE$

答案： A

【典例2】如图,$I为\triangle ABC$角平分线的交点,过$I点作DE\perp AI$,分别交$AB$,$AC于D$,$E$,求证：$\angle BIC= \angle BDI= \angle CEI$。

答案： 解:易知$∠BIC=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC,$
又$\because ∠BDI=∠CEI=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC,$
$\therefore ∠BIC=∠BDI=∠CEI.$

变式.如图,$AO$,$BO分别平分\angle CAB$,$\angle CBA$,$OD\perp OB交AB于点D$,求$\frac{\angle AOD}{\angle C}$的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 解:$∠AOB=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠C,\therefore \frac {∠AOD}{∠C}=\frac {1}{2}.$