《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

9.用圆规与直尺作图：
(1)(教材$P59T8$改编)如图,$A$,$B$,$C$是新建的三个居民小区,政府拟在与三个居民小区距离相等的地方修建一所学校,要求学校到三个小区的距离相等,请在图中作出学校的位置$M$。
(2)(教材$P71T12$改编)如图,有两条国道相交于$O$点,在$\angle AOB的内部有两村庄C$,$D$,现要修建一加油站$P$,使点$P到OA$,$OB$的距离相等,且使$PC = PD$,用尺规作图,作出加油站$P$的位置(不写作法)。
(3)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$BC = 3$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,与$AC交于点D$,再分别以$A$,$D$为圆心,大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径画弧,两弧交于点$E$,$F$,作直线$EF$,交$AB于点G$,连接$DG$,则$\triangle BDG$的周长为____。

答案：

(1)解:垂直平分线的交点。

(2)解: $CD$ 的垂直平分线与 $ \angle AOB$ 的平分线的交点。

(3) 8

10.如图,在$\triangle ABE$中,$AD\perp BE于D$,$C是BE$上一点,$BD = DC$,且点$C在AE$的垂直平分线上,若$\triangle ABC的周长为22cm$,求$DE$的长。

(11cm)

答案： 解: $11cm$。

11.如图,四边形$ABCD$中,$CE垂直平分AD$,$CF垂直平分AB$。
(1)求证：$CD = CB$；
证明：连接$AC$，∵$CE$垂直平分$AD$，∴$CD=CA$，∵$CF$垂直平分$AB$，∴$CB=CA$，∴$CD=CB$
(2)若$\angle DAB = 110^{\circ}$,求$\angle DCB$的大小。
解：∵$CE$垂直平分$AD$，∴$AE=DE$，$CE=CE$，$\angle CEA=\angle CED=90^{\circ}$，∴$\triangle ACE\cong\triangle DCE(SAS)$，∴$\angle CAD=\angle D$，同理$\angle CAB=\angle B$，∵$\angle DAB=110^{\circ}$，∴$\angle CAD+\angle CAB=110^{\circ}$，∴$\angle D+\angle B=110^{\circ}$，∵四边形内角和为$360^{\circ}$，∴$\angle DCB=360^{\circ}-\angle DAB-\angle D-\angle B=360^{\circ}-110^{\circ}-110^{\circ}=140^{\circ}$，故$\angle DCB$的大小为140°

答案： 解:
(1)连接 $AC$，$\therefore CD = CA$，$CB = CA$，$\therefore CD = CB$；
(2) $ \triangle ACE \cong \triangle DCE(SSS)$，$ \angle CAD = \angle D$，
同理 $ \angle CAB = \angle B$，
$\therefore \angle DCB = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ} $。

12.如图,点$A为\angle MON$的角平分线上一点,过$A点任作一直线分别与\angle MON的两边交于B$,$C$,$P为BC$的中点,过点$P作BC的垂线交OA于点D$。
(1)如图$1$,若$\angle MON = 90^{\circ}$,则$\angle BDC = $____$90^{\circ}$；
(2)如图$2$,若$\angle BDC = 100^{\circ}$,则$\angle BOD = $____$40^{\circ}$；
(3)如图$3$,若$\angle MON = \alpha$,则$\angle BDC = $____$180^{\circ} - \alpha$,请给予证明。

答案：
(1) $90^{\circ}$；
(2) $40^{\circ}$；
(3) $180^{\circ} - \alpha$。
解:
(3)过 $D$ 作 $DH \perp OM$ 于点 $H$，
$DG \perp ON$ 于点 $G$，则 $DH = DG$，
$Rt \triangle DBH \cong Rt \triangle DCG$，
$\therefore \angle BDH = \angle CDG$，$\therefore \angle BDC = \angle HDG = 180^{\circ} - \alpha$。