《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

1.如图,$AB// DE$,$AC// DF$,$BE= CF$,且$B$,$E$,$C$,$F$在同一条直线上,求证：$AB= DE$。

证明：证$\triangle ABC\cong \triangle DEF$.

答案： 解：
因为$AB// DE$，所以$\angle B = \angle DEF$（两直线平行，同位角相等）。
因为$AC// DF$，所以$\angle ACB = \angle F$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$BE = CF$，所以$BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle DEF \\BC = EF\\\angle ACB = \angle F\end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$（$ASA$）。
所以$AB = DE$（全等三角形对应边相等）。

2.如图,已知点$B$,$E$,$C$,$F$在一条直线上,$AB= DF$,$AC= DE$,$∠A= ∠D$。求证：$AC// DE$。

答案： 解：在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，
$\begin{cases}AB = DF\\\angle A=\angle D\\AC = DE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。
所以$\angle ACB=\angle DEF$（全等三角形对应角相等）。
因为$\angle ACB$与$\angle DEF$是内错角，且$\angle ACB=\angle DEF$，
根据内错角相等，两直线平行，所以$AC// DE$。

3.如图,在$\triangle ABD和\triangle FEC$中,点$B$,$C$,$D$,$E$在同一直线上,且$AB= FE$,$BC= DE$,$∠B= ∠E$。求证：$∠ADB= ∠FCE$。

答案： 解：
因为$BC = DE$，
所以$BC + CD = DE + CD$，即$BD = EC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle FEC$中，
$\begin{cases}AB = FE\\\angle B = \angle E\\BD = EC\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle FEC$。
因为全等三角形的对应角相等，
所以$\angle ADB = \angle FCE$。

4.如图,$AB= AC$,$BE⊥AC于点E$,$CD⊥AB于点D$,$BE$,$CD交于点O$,求证：$OB= OC$。

答案： 解：
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AB$，所以$\angle ADC = \angle AEB=90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle A\\\angle AEB = \angle ADC\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD(AAS)$。
则$AD = AE$，又因为$AB = AC$，所以$AB - AD=AC - AE$，即$BD = CE$。
在$\triangle BDO$和$\triangle CEO$中，
$\begin{cases}\angle BDO=\angle CEO\\\angle BOD=\angle COE\\BD = CE\end{cases}$
所以$\triangle BDO\cong\triangle CEO(AAS)$。
所以$OB = OC$。

5.如图,$AB⊥CD于点B$,$CF⊥AD交AB于点E$,交$AD于点F$,$BC= AB$,求证：$BE= BD$。

答案： 解：
因为$AB\perp CD$，$CF\perp AD$，
所以$\angle CBE=\angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle A+\angle D = 90^{\circ}$。
所以$\angle C=\angle A$。
在$\triangle CBE$和$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}\angle C=\angle A\\BC = AB\\\angle CBE=\angle ABD\end{cases}$
所以$\triangle CBE\cong\triangle ABD$（$ASA$）。
所以$BE = BD$。

6.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$E两点分别在BC$,$AC$的延长线上,$∠1= ∠2= ∠3$,求证：$AD= AE$。

答案： 解：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
又因为$\angle ACB=\angle ECD$（对顶角相等），所以$\angle ABC=\angle ECD$。
因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 1+\angle CAD=\angle 2+\angle CAD$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
因为$\angle 3=\angle 2$，$\angle ABC=\angle ECD$，所以$\triangle ABD\sim\triangle ACE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又因为$AB = AC$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACE$（$ASA$全等判定：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。
所以$AD = AE$。