《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

9.已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边△PCE.
(1)如图1,点P在AB上,求证：AE//BC.证明△ACE≌△BCP
(2)如图2,点P在AB延长线上,求证：AE//BC.证明△ACE≌△BCP

答案：
(1)证明$\triangle ACE\cong \triangle BCP$.
(2)证明$\triangle ACE\cong \triangle BCP$.

10.已知△ABC是等边三角形,点D,E分别在直线BC,AC上,且AE= CD.
(1)如图1,AD与BE相交于F点,求∠BFD的度数；60°
(2)如图2,求证：BE= DE.证明:作EM// BC交AB于M点,证△BEM≌△EDC.

答案： 证明:
(1)证$\triangle ABE\cong \triangle CAD$.
$\therefore \angle BFD=\angle ABF+\angle BAF=\angle BAF+\angle DAC=\angle BAC=60^{\circ }$.
(2)作$EM// BC$交$AB$于$M$点,证$\triangle BEM\cong \triangle EDC$.

11.(2025·武昌)如图,小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏,开始时小明和小楠分别站在A,B两点,AB= AC= BC= 10m.已知小明的速度是1m/s,小楠的速度是2m/s,当小楠第一次到达点B时,小明和小楠同时停止运动.
(1)小明和小楠同时运动几秒后,恰好使得两人和点A可得到等边三角形?
(2)当小明和小楠在边BC上运动时(B,C两点除外),能否使得他们到点A的距离相等?如果能,请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能,请说明理由.
(1)$\frac{10}{3}$
(2)能，此时运动时间为$\frac{40}{3}$秒

答案： 解:
(1)$AM=AN,\angle A=60^{\circ }$,
$\therefore \triangle AMN$为等边三角形,
$10-2t=t,\therefore t=\frac {10}{3}$;
(2)当点$M,N$在$BC$上时,
$\triangle ACM\cong \triangle ABN,\therefore CM=BN$,
$t-10=30-2t,\therefore t=\frac {40}{3}$.