《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

8.(2022·青山)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,$\angle AOB$是一个任意角,在边$OA$,$OB上分别取OM= ON$,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点$M$,$N$重合,过角尺顶点$P的射线OP便是\angle AOB$的平分线,请说明理由.

答案： 解：在$\triangle OMP$和$\triangle ONP$中，
$\begin{cases}OM = ON \\MP = NP \\OP = OP\end{cases}$
所以$\triangle OMP\cong\triangle ONP$（$SSS$）
则$\angle MOP = \angle NOP$（全等三角形对应角相等）
所以$OP$是$\angle AOB$的平分线。

9.如图,D是BC上一点,AB= AD,BC= DE,AC= AE.
(1)若∠BAD= 40°,则∠CAE的度数为;
(2)求证:∠CDE= ∠BAD.
证明:△ABC≌△ADE,∠CDE=∠CAE=∠BAD.

答案： 1. （1）
解：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\BC = DE\\AC = AE\end{array}\right.$。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
所以$\angle BAC=\angle DAE$。
因为$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
已知$\angle BAD = 40^{\circ}$，所以$\angle CAE=40^{\circ}$。
2. （2）
证明：
由$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，可得$\angle B=\angle ADE$。
因为$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），且$\angle ADC=\angle ADE+\angle CDE$。
所以$\angle B+\angle BAD=\angle ADE+\angle CDE$。
又因为$\angle B=\angle ADE$，等式两边同时减去$\angle ADE$（或$\angle B$），可得$\angle CDE=\angle BAD$。
综上，（1）答案为$40^{\circ}$。

10.如图,在$\triangle ABC$中,点$E在CA$的延长线上,点$M在AB$上,$AM= AC$,$AB= AE$,$BC= EM$.
(1)求证:$AB\perp CE$;
(2)求证:$EM\perp BC$.

答案： 1. （1）证明$AB\perp CE$：
在$\triangle ABC$和$\triangle AEM$中，
已知$AM = AC$，$AB = AE$，$BC = EM$。
根据“边 - 边 - 边”（$SSS$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle AEM$。
所以$\angle BAC=\angle EAM$。
因为$\angle BAC+\angle EAM = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle BAC=\angle EAM = 90^{\circ}$。
即$AB\perp CE$。
2. （2）证明$EM\perp BC$：
设$BC$与$EM$交于点$D$。
由$\triangle ABC\cong\triangle AEM$，可得$\angle B=\angle E$。
在$\triangle BDM$和$\triangle EDA$中，$\angle BDM=\angle EDA$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理$\angle B+\angle BDM+\angle BMD = 180^{\circ}$，$\angle E+\angle EDA+\angle EAD = 180^{\circ}$。
因为$\angle B=\angle E$，$\angle BDM=\angle EDA$，所以$\angle BMD=\angle EAD$。
又因为$\angle EAD = 90^{\circ}$（已证$AB\perp CE$），所以$\angle BMD = 90^{\circ}$。
即$EM\perp BC$。
综上，（1）已证$AB\perp CE$；（2）已证$EM\perp BC$。

11.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D是BC$的中点,点$E在AD$上,求证:$BE= CE$.

答案： 解：
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD$是$\triangle ABC$的对称轴，$AD\perp BC$，$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDE$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDE = 90^{\circ}\\DE = DE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDE$。
所以$BE = CE$（全等三角形的对应边相等）。