《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】已知 $ PC = AC = BC $。

(1)如图 1,$ ∠ACB = 60^{\circ} $,点 $ P $ 在 $ ∠ACB $ 内,求 $ ∠APB $ 的大小；$150^{\circ }$
(2)如图 2,$ ∠ACB = 60^{\circ} $,点 $ P $ 在 $ AC $ 下方时,求 $ ∠APB $ 的大小。$30^{\circ }$

答案： 解：
(1)设$∠CAP=∠CPA=α$，$∠CPB=∠CBP=β$，$2α+2β+60^{\circ }=360^{\circ }$，$\therefore α+β=150^{\circ }$，$\therefore ∠APB=150^{\circ }$；
(2)设$∠ACP=α$，$∠CPA=\frac {180^{\circ }-α}{2}$，$∠CPB=\frac {180^{\circ }-(60^{\circ }+α)}{2}$，$\therefore ∠APB=30^{\circ }$．

变式.已知 $ PC = AC = BC $。

(1)如图 3,$ ∠ACB = 90^{\circ} $,点 $ P $ 在 $ ∠ACB $ 内,求 $ ∠APB $ 的大小；135°
(2)如图 4,$ ∠ACB = 90^{\circ} $,点 $ P $ 在 $ AC $ 下方时,求 $ ∠APB $ 的大小。45°

答案： 解：
(1)同理$∠APB=135^{\circ }$；
(2)同理可求$∠APB=45^{\circ }$．

【典例 2】已知 $ OA = OB = OC $。如图 1,若 $ ∠ACB = 20^{\circ} $,求 $ ∠AOB $ 的大小。

解：设$∠ACO=α$，$\because OA=OC$，$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-2α$．又$\because OB=OC$，$\therefore ∠BOC=180^{\circ }-2(α+20^{\circ })$，$\therefore ∠AOB=180^{\circ }-2α-[180^{\circ }-2(α+20^{\circ })]=$$40^{\circ }$．

答案： 解：设$∠ACO=α$，$\because OA=OC$，$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-2α$．又$\because OB=OC$，$\therefore ∠BOC=180^{\circ }-2(α+20^{\circ })$，$\therefore ∠AOB=180^{\circ }-2α-[180^{\circ }-2(α+20^{\circ })]=40^{\circ }$．

变式.如图 2,已知 $ OA = OB = OC $,若 $ ∠BOC = \alpha $,求 $ ∠BAC $ 的大小为$\frac{\alpha}{2}$。

答案： 解：设$∠AOB=β$，$\because OA=OC$，$\therefore ∠OAC=\frac {180^{\circ }-(α+β)}{2}$．又$\because OA=OB\Rightarrow ∠OAB=\frac {180^{\circ }-β}{2}$，$\therefore ∠BAC=\frac {180^{\circ }-β}{2}-\frac {180^{\circ }-(α+β)}{2}=\frac {α}{2}$．