《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

7.(教材 P132T3)分解因式.
(1)$m^{4}-18m^{2}+81$;
(2)$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}$;
(3)$(a^{2}+4b^{2})^{2}-16a^{2}b^{2}$;
(4)$2(x^{2}-3y^{2})^{2}+24x^{2}y^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
对于$m^{4}-18m^{2}+81$，根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，这里$a = m^{2}$，$b = 9$，则$m^{4}-18m^{2}+81=(m^{2}-9)^{2}$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对$m^{2}-9$分解，$m^{2}-9=(m + 3)(m - 3)$。
所以$m^{4}-18m^{2}+81=(m + 3)^{2}(m - 3)^{2}$。
2. （2）
解：
对于$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}$，根据平方差公式$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$，其中$A=a^{2}+b^{2}-c^{2}$，$B=a^{2}-b^{2}-c^{2}$。
则$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}=[(a^{2}+b^{2}-c^{2})+(a^{2}-b^{2}-c^{2})][(a^{2}+b^{2}-c^{2})-(a^{2}-b^{2}-c^{2})]$。
化简$(a^{2}+b^{2}-c^{2})+(a^{2}-b^{2}-c^{2})=2(a^{2}-c^{2})$，$(a^{2}+b^{2}-c^{2})-(a^{2}-b^{2}-c^{2}) = 2b^{2}$。
再对$a^{2}-c^{2}$用平方差公式分解，$a^{2}-c^{2}=(a + c)(a - c)$。
所以$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}=4b^{2}(a + c)(a - c)$。
3. （3）
解：
对于$(a^{2}+4b^{2})^{2}-16a^{2}b^{2}$，根据平方差公式$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$，这里$A=a^{2}+4b^{2}$，$B = 4ab$。
则$(a^{2}+4b^{2})^{2}-16a^{2}b^{2}=(a^{2}+4b^{2}+4ab)(a^{2}+4b^{2}-4ab)$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，$a^{2}+4b^{2}+4ab=(a + 2b)^{2}$，$a^{2}+4b^{2}-4ab=(a - 2b)^{2}$。
所以$(a^{2}+4b^{2})^{2}-16a^{2}b^{2}=(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}$。
4. （4）
解：
对于$2(x^{2}-3y^{2})^{2}+24x^{2}y^{2}$，先提取公因式$2$得：$2[(x^{2}-3y^{2})^{2}+12x^{2}y^{2}]$。
展开$(x^{2}-3y^{2})^{2}=x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4}$，则$(x^{2}-3y^{2})^{2}+12x^{2}y^{2}=x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4}+12x^{2}y^{2}$。
合并同类项得$x^{4}+6x^{2}y^{2}+9y^{4}$，根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，这里$a=x^{2}$，$b = 3y^{2}$，$x^{4}+6x^{2}y^{2}+9y^{4}=(x^{2}+3y^{2})^{2}$。
所以$2(x^{2}-3y^{2})^{2}+24x^{2}y^{2}=2(x^{2}+3y^{2})^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$(m + 3)^{2}(m - 3)^{2}$；（2）$4b^{2}(a + c)(a - c)$；（3）$(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}$；（4）$2(x^{2}+3y^{2})^{2}$。

8.如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形,然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可因式分解为(A)

A.$(b-6a)(b-2a)$
B.$(b-3a)(b-2a)$
C.$(b-5a)(b-a)$
D.$(b-2a)^{2}$

答案： A
解：$M=(b-2a)^{2}-4(b-2a)a$
$=(b-2a)(b-6a)$

9.已知$a+\frac {1}{b}= 3,a^{2}-\frac {1}{b^{2}}= 12$,则$a= $3.5.

答案： 3.5

10.已知n为正整数,求证:$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$能被24整除.

答案： 证明：原式$=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)$
$=(6n+6)×2n$
$=12n(n+1)$
又$\because n(n+1)$为两个连续整数，
故$12n(n+1)$为24的倍数。

11.观察下列式子,你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗?
$1^{2}+1×2^{2}+2^{2}= (1+1+1)^{2}$,
$2^{2}+2×3^{2}+3^{2}= (4+2+1)^{2}$,
$3^{2}+3×4^{2}+4^{2}= (9+3+1)^{2}$,
……

答案： 1. 首先得出结论：
结论为$n^{2}+n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}=(n^{2}+n + 1)^{2}(n\in N^{*})$。
2. 然后进行证明：
解（证明）：
左边$=n^{2}+n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}$。
先将$n^{2}(n + 1)^{2}$展开为$n^{2}(n^{2}+2n + 1)=n^{4}+2n^{3}+n^{2}$，则左边$=n^{2}+n^{4}+2n^{3}+n^{2}+n^{2}+2n + 1$。
整理得$n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$。
右边$=(n^{2}+n + 1)^{2}$，根据完全平方公式$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac + 2bc$（这里$a=n^{2}$，$b = n$，$c = 1$），则$(n^{2}+n + 1)^{2}=(n^{2})^{2}+n^{2}+1^{2}+2n^{3}+2n^{2}+2n$。
即$n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$。
所以左边$=$右边，结论得证。
综上，结论是$n^{2}+n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}=(n^{2}+n + 1)^{2}(n\in N^{*})$且证明成立。

12.我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:
$15×15= 225= 1×2×100+25$,
$25×25= 625= 2×3×100+25$,
$35×35= 1225= 3×4×100+25$,
……
你能写出一般的规律吗? $(10n+5)^{2}=n(n+1)×100+25$你能用所学知识证明你的结论吗?
证明：$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25$。

答案： 证明：$(10n+5)^{2}=n(n+1)×100+25$。
$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25$。