《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.
(1)画出$BC$,$AC边上高AE$,$BD$;
(2)若$AC= 2BC$,求$\frac {BD}{AE}$的值.

答案：
解:
(1)如图所示;

(2)$S_{△ABC}=\frac {1}{2}BC\cdot AE=\frac {1}{2}AC\cdot BD,AE=2BD,$
$\therefore \frac {BD}{AE}=\frac {1}{2}.$

变式.如图,已知$\triangle ABC$.
(1)画出$\triangle ABC的高AM$,$CN$;
(2)若$CN= 3$,$AM= 6$,$AB= 10$,求$BC$的长.

答案：
解:
(1)如图所示;

(2)$S_{△ABC}=\frac {1}{2}BC×AM=\frac {1}{2}AB×CN,$
$\therefore BC=5.$

【典例2】已知$AD是\triangle ABC$的高,$∠BAD= 70^{\circ }$,$∠CAD= 20^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

答案：
解:当高 AD 在$△ABC$的内部时(如图 1),$∠BAC=90^{\circ }.$
当高 AD 在$△ABC$的外部时(如图 2),$∠BAC=50^{\circ }.$
综上可知$∠BAC$的度数为$90^{\circ }$或$50^{\circ }.$

【典例3】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AC边上的高BD= 4$,$P为BC$上一点,$PE⊥AC于E$,$PF⊥AB于F$,求$PE+PF$的值.

解:连接 AP,
$\because S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△PAC},$
$\therefore \frac {1}{2}AB\cdot PF+\frac {1}{2}AC\cdot PE=\frac {1}{2}AC\cdot BD,$
$\because AB=AC,BD=4,$
$\therefore PE+PF=$4.

答案： 解:连接 AP,
$\because S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△PAC},$
$\therefore \frac {1}{2}AB\cdot PF+\frac {1}{2}AC\cdot PE=\frac {1}{2}AC\cdot BD,$
$\because AB=AC,BD=4,$
$\therefore PE+PF=4.$

变式1.如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB= 4$,$S_{\triangle ABC}= 6$,点$D在AB$上,$DE⊥AC$,$DF⊥BC$,垂足为$E$,$F$,则$DE+DF= $3.

答案： 3

变式2.如图,长方形$ABCD$面积为6,点$E在DC$的延长线上,连接$BE$,$P为BE$中点,则$S_{\triangle ABP}$的面积为(C)
A.6
B.3
C.1.5
D.2

答案： C