《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】如图,点E在CA延长线上,DE,AB交于F,$AC// BD,AB// CD.∠EAF,∠BDF$的平分线交于G,$∠EDC= 40^{\circ }$,求$∠G$的大小.

解:设$∠EAG=∠FAG=α$，
$∠EDG=∠BDG=β$.
$\because AB// CD,∠EDC=40^{\circ }$，
$\therefore ∠DFB=∠EDC=40^{\circ }$，
$\because AB// CD$，$\therefore ∠B=∠C$，$\because AC// BD$，$\therefore ∠C=∠BDC$，又$\because ∠EAF$是$∠BAC$的对顶角，$\therefore ∠B=∠C=∠EAF=2α$，
在$\triangle BDF$中，$∠B+∠BDF+∠DFB=180^{\circ }$，$\therefore 2α+2β+40^{\circ }=180^{\circ }$，即$2α+2β=140^{\circ },α+β=70^{\circ }$.
在$\triangle FDG$中，$∠G+∠DFG+∠FDG=180^{\circ }$，$\because ∠DFG=∠DFB=40^{\circ }$，$\angle FDG=\beta$，$\angle FGD=\angle G$，$\therefore ∠G=180^{\circ }-40^{\circ }-β-α=140^{\circ }-70^{\circ }=70^{\circ }$.

答案： 解:设$∠EAG=∠FAG=α$，
$∠EDG=∠BDG=β$.
$\because AB// CD,∠EDC=40^{\circ }$，
$\therefore ∠DFB=40^{\circ }$，
$∠B=∠C=∠EAF=2α$，
$\therefore 2α+2β=140^{\circ },α+β=70^{\circ }$.
$\therefore ∠G=180^{\circ }-40^{\circ }-β-α=140^{\circ }-70^{\circ }=70^{\circ }$.

变式.如图1,$AD// BC$,DE平分$∠ADB$交AB于E,$∠BDC= ∠BCD$.
(1)求证:$∠1+∠2=$90°;
(2)如图2,BF平分$∠ABD$交CD的延长线于F点,若$∠ABC= 70^{\circ }$,求$∠F$的大小.55°

答案： 解:
(1)设$∠ADE=α,∠BDC=β$，
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADC+∠BCD=180^{\circ }$，
$\therefore 2α+2β=180^{\circ }$，
$\therefore ∠1+∠2=180^{\circ }-α-β=90^{\circ }$；
(2)设$∠ABF=∠FBD=α$，
$\therefore ∠DBC=70^{\circ }-2α$，
$∠BDC+∠BCD=180^{\circ }-(70^{\circ }-2α)=110^{\circ }+2α$，
$\therefore ∠BDC=∠BCD=55^{\circ }+α$，
$\therefore ∠F=∠BDC-∠FBD=55^{\circ }+α-α=55^{\circ }$，
$\therefore ∠F=55^{\circ }$.

【典例2】在$△ABC$中,D为AC上一点,$DE// AB$交BC于点E.
(1)如图1,BG平分$∠ABC$交AC于点G,DF平分$∠CDE$交BG于点F.探究$∠BFD与∠C$的数量关系,证明你的结论;
(2)如图2,$∠ABG= 2∠CBG,∠EDF= 2∠GDF$,若$∠C= α$,直接写出$∠BFD$的度数为____$60^{\circ }+\frac {2}{3}α$(用含α的式子表示).

答案： 解:
(1)$∠BFD=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠C$.
设$∠ABC=2α,∠A=2β$，
$\because 2α+2β=180^{\circ }-∠C$，
$α+β=180^{\circ }-∠BFD$，
$\therefore ∠BFD=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠C$；
(2)$∠BFD=60^{\circ }+\frac {2}{3}α$.