《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

变式1.已知$AC⊥BC$,$CE⊥CF$,$CA= CB$,$CE= CF$。
(1)如图1,试判断$AE与BF$的关系：$AE=BF$,$AE\perp BF$；
(2)如图2,求证：$AE= BF$,$AE⊥BF$。
证明：证$\triangle ACE\cong\triangle BCF$

答案： 证明:
(1)$AE=BF$,$AE\perp BF$;
(2)证$\triangle ACE\cong\triangle BCF$.

变式2.将两块含$45^{\circ}角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB$,如图1,2摆放。连接$AC$,$BD$,问$AC与BD$存在怎样数量关系与位置关系。
答：AC=BD且BD⊥AC

答案： 解:$\triangle AOC\cong\triangle BOD(SAS)$,$\therefore AC=BD$,$\therefore\angle CAO=\angle OBD$,$\therefore BD\perp AC$.

变式3.已知在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$($∠ABC= ∠ACB= 45^{\circ}$),点$D为直线BC$上一动点(点$D不与B$,$C$重合),以$AD为边在AD右侧作等腰Rt△ADF$,$∠DAF= 90^{\circ}$,连接$CF$。
(1)观察猜想：如图1,当点$D在线段BC$上时,求证：$CF⊥BC$,并证明；
证明：$\triangle ABD\cong\triangle ACF$,$\therefore\angle ACF=\angle ABD=45^{\circ}$,$BD=CF$,$\therefore\angle DCF=90^{\circ}$,$\therefore BC\perp CF$.
(2)数学思考：如图2,3,当点$D分别在线段CB的延长线上和线段BC$延长线上时,上述结论是否仍成立。成立，方法同上

答案： 解:
(1)$\triangle ABD\cong\triangle ACF$,$\therefore\angle ACF=\angle ABD=45^{\circ}$,$BD=CF$,$\therefore\angle DCF=90^{\circ}$,$\therefore BC\perp CF$.
(2)方法同上.