《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

变式 1.如图,四边形 ABCD 中,$∠A= ∠C= 90^{\circ },∠D= 60^{\circ },AB= BC$,E,F 分别在 AD,CD 上,且$∠EBF= 60^{\circ }$,求证:$EF= AE+CF$.

证明:(补短法)延长 DC 至 M,连接 BM,使 $ CM = AE $,证 $ \triangle ABE \cong \triangle CBM $,$ \triangle BMF \cong \triangle BEF $.

答案： 证明:(补短法)延长 DC 至 M,连接 BM,使 $ CM = AE $,证 $ \triangle ABE \cong \triangle CBM $,$ \triangle BMF \cong \triangle BEF $.点评:补短的目的是为了构造两对全等三角形,本题不宜用截长法,因无法构造两对全等三角形.

变式 2.如图,$∠A= ∠B= 90^{\circ },CA= CB= 4,∠ACB= 120^{\circ },∠ECF= 60^{\circ },AE= 3,BF= 2$,求五边形 ACBFE 的面积.

解:(补短法)延长 FB 至 G 使 $ BG = AE $,连接 CG,证 $ \triangle CBG \cong \triangle CAE $,$ \triangle CEF \cong \triangle CGF $,$ S_{五边形ACBFE} = $20.

答案： 解:(补短法)延长 FB 至 G 使 $ BG = AE $,连接 CG,证 $ \triangle CBG \cong \triangle CAE $,$ \triangle CEF \cong \triangle CGF $,$ S_{五边形ACBFE} = 20 $.

变式 3.如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在直线 CB,DC 上,$∠EAF= 45^{\circ }$,求证:$EF= DF - BE$.

证明:(截长法)在 CD 上取 M 点,连接 AM,使$ DM = BE $,$\triangle ADM \cong \triangle ABE$,再证$\triangle AEF \cong \triangle AMF$.

答案： 证明:(截长法)在 CD 上取 M 点,连接 AM,使 $ DM = BE $,$ \triangle ADM \cong \triangle ABE $,再证 $ \triangle AEF \cong \triangle AMF $.点评:截长的目的是为了构造两对全等三角形,本题不宜用补短法,因无法构造两对全等三角形.

变式 4.如图,在$△ABC$中,$CA= CB,∠ACB= 120^{\circ }$,E 为 AB 上一点,点 D 在$△ABC$的外部,且$∠DCE= ∠DAE= 60^{\circ }$.求证:$AD+DE= BE$.

证明:(截长法)在 BE 上截取BF = AD,连接 CF,证△CBF ≌ △CAD(SAS),△CED ≌ △CEF(SAS),$ \therefore DE = EF $,$ \therefore AD + DE = BF + EF = BE $.

答案： 证明:(截长法)在 BE 上截取 $ BF = AD $,连接 CF,证 $ \triangle CBF \cong \triangle CAD(SAS) $,$ \triangle CED \cong \triangle CEF(SAS) $,$ \therefore DE = EF $,$ \therefore AD + DE = BF + EF = BE $.