《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

1.(2022·武汉)如图,在等边$\triangle ABC$中,点D为BC边的中点,点E在AB的延长线上,$AD= DE$,ED的延长线交AC于点F,求$\frac {CF}{AC}$的值.

$\frac {CF}{AC}=$$\frac{1}{4}$

答案： 解：$∠DAB=∠E=30^{\circ },\therefore ∠CDF=30^{\circ },\therefore CF=\frac {1}{2}CD=\frac {1}{4}$AC.

2.如图,四边形ABCD中,$AD= 4,BC= 1,∠A= 30^{\circ },∠B= 90^{\circ },∠ADC= 120^{\circ }$,求CD的长.

解：延长 AD，BC 交于 E，构造$30^{\circ }$的直角$\triangle ABE$，设$CD=CE$$=DE=x,$$\therefore 2(1+x)=x+4,x=2,\therefore CD=2.$

答案： 解：延长 AD，BC 交于 E，构造$30^{\circ }$的直角$\triangle ABE$，设$CD=CE$$=DE=x,$$\therefore 2(1+x)=x+4,x=2,\therefore CD=2.$

3.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D,E是$\triangle ABC$内两点,AD平分$∠BAC,∠EBC= ∠E= 60^{\circ }$,若$BE= 6,DE= 2$,求BC的长.

BC的长为8.

答案： 解：延长 AD 交 BC 于 H，延长 ED 交 BC 于 F，则$AH⊥BC,$$BF=BE=6,DF=4,HF=2,\therefore BH=4,\therefore BC=8.$

4.如图,$\triangle ABC$中,BD是AC边上的中线,$BD⊥BC,∠ABD= 30^{\circ }$,求证:$AB= 2BC$.
证明：作$AM⊥BD$于 M，构造$30^{\circ }$的直角$\triangle ABM,\therefore AB=2AM$，再证$AM=BC$，即证$\triangle BCD\cong \triangle MAD$即可.

答案： 证明：作$AM⊥BD$于 M，构造$30^{\circ }$的直角$\triangle ABM,\therefore AB=$$2AM$，再证$AM=BC$，即证$\triangle BCD\cong \triangle MAD$即可.

5.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠A= 30^{\circ },∠ACB= 90^{\circ }$,点D为AC的中点,点E在AB上,$AE= DE$,延长ED交BC的延长线于点F,若$AB= 12$,求DE的长.

解：作$CM// AB$交 EF 于 M，$\triangle AED\cong \triangle CMD,ED=DM=$$CM=MF,\therefore$设$DE=x$，则$12-x=3x,x=3,\therefore DE=$3.

答案： 解：作$CM// AB$交 EF 于 M，$\triangle AED\cong \triangle CMD,ED=DM=$$CM=MF,\therefore$设$DE=x$，则$12-x=3x,x=3,\therefore DE=3.$

6.如图,在四边形ABCD中,$∠B= 90^{\circ },∠CAB= ∠CAD= 60^{\circ }$,点E在AB上,$AE= 3,BE= 2,ED= EC$,则AD的长度

为____7.

答案： 7
解：过点 E 作$EM⊥AD,EN⊥AC$，垂足为点 M，N，$\therefore \triangle EDM\cong \triangle ECN,$$\therefore DM=CN,AC=10,$$AN=1.5,\therefore DM=CN=8.5,$$\therefore AD=8.5-AM=7.$