《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】如图,在等腰$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,点$D在AB$上,$∠BCD = 22.5^{\circ}$,$\triangle BCD的面积为4$,求$CD$的长。

解:作 $ BE \perp CD $ 于点 $ E $，$ AF \perp CD $ 于点 $ F $，$ \therefore CF = DF = BE $，$ \therefore 4 = \frac{1}{2}CD \cdot \frac{1}{2}CD $，$ CD = $4。

答案： 解:作 $ BE \perp CD $ 于点 $ E $，$ AF \perp CD $ 于点 $ F $，$ \therefore CF = DF = BE $，$ \therefore 4 = \frac{1}{2}CD \cdot \frac{1}{2}CD $，$ CD = 4 $。

变式 1.如图,在$\triangle ABD$中,点$C在BD$边上,$∠CAD = 90^{\circ}$,$AC = AD$,$CA = CB$,$AB = 5$,则$\triangle ABD$的面积为$\frac{25}{4}$。

答案： $ \frac{25}{4} $
解:过点 $ C $ 作 $ CN \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ N $，过点 $ D $ 作 $ DM \perp AB $ 与 $ BA $ 的延长线交于点 $ M $，$ \therefore \triangle BCN \cong \triangle DAM $，$ \therefore DM = BN = 2.5 $，$ \therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4} $。

变式 2.(2025·荆州)如图,$AC = AB = BD$,$AB⊥BD$,$BC = 8$,则$\triangle BCD$的面积为(16)
A.8
B.12
C.14
D.16

答案： D
解:过点 $ A $ 作 $ AM \perp BC $ 于点 $ M $，过点 $ D $ 作 $ DN \perp CB $ 交 $ CB $ 的延长线于点 $ N $，$ \therefore \triangle ABM \cong \triangle BDN $，$ DN = BM = CM = 4 $，$ S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 $。

【典例 2】在$Rt\triangle ABC$中,$AC = BC$,$∠ACB = 90^{\circ}$,点$O为AB$的中点。
(1)如图 1,点$E$,$F分别在边AC和BC$上时,$OE⊥OF$,求证：$OE = OF$；
证明:连接 $ OC $，$ \triangle CEO \cong \triangle BFO $
(2)如图 2,点$E$,$F分别在AC$,$BC$上,$∠EOF = 45^{\circ}$,求证：$CE + EF = BF$。
证明:连接 $ CO $，$ OM $，在 $ BF $ 上取点 $ M $，使 $ CE = BM $，证 $ \triangle COE \cong \triangle BOM $，再证 $ \triangle EOF \cong \triangle MOF $，$ \therefore EF = FM $，$ \therefore CE + EF = BM + FM = BF $

答案： 证明:
(1)连接 $ OC $，$ \triangle CEO \cong \triangle BFO $。
(2)连接 $ CO $，$ OM $，在 $ BF $ 上取点 $ M $，使 $ CE = BM $，证 $ \triangle COE \cong \triangle BOM $，再证 $ \triangle EOF \cong \triangle MOF $，$ \therefore EF = FM $，$ \therefore CE + EF = BM + FM = BF $。