《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】(教材 P119 活动 1)如图是某月的月历.
(1)选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论? 请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律;差不变，为7
(2)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.设第一个数为x，∴x(x+8)-(x+1)(x+7)=x²+8x-(x²+8x+7)=-7

答案： 解:
(1)差不变,为 7;
(2)设第一个数为 $ x $，
$\begin{aligned}\therefore x(x + 8) - (x + 1)(x + 7) &= x^2 + 8x - (x^2 + 8x + 7)\\&= -7\end{aligned}$

变式.将月历中任意取 $ 3×3 $ 方框,取“十字型”的 5 个数字如下探究 $ ab - xy $ 的值.

$ ab - xy $ 的值为48.

答案： 解:设中间数为 $ m $，则
$\begin{aligned}ab - xy &= (m - 1)(m + 1) - (m - 7)(m + 7)\\&= m^2 - 1 - (m^2 - 49) = 48\end{aligned}$

【典例 2】如图所示的是 2025 年 1 月份的月历,“Z 字型”“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖,也可以上下左右平移).将“Z 字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作 $ m $,将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作 $ n $,若 $ m - n = 30 $,则 $ m + n $ 的值为______900.

答案： 900
解:设“Z”字型最小数为 $ x $，最大数为 $ x + 16 $，
$\therefore m = x(x + 16)$
“十字型”最小数为 $ y $，最大数为 $ y + 14 $，
$n = y(y + 14), m - n = 30$
$x(x + 16) - y(y + 14) = 30$
$\therefore (x + y + 15)(x - y + 1) = 45$
$\because x, y \text{ 为正整数}$
$\therefore \begin{cases}x - y + 1 = 1\\x + y + 15 = 45\end{cases}$
$\therefore x = y = 15, \therefore m + n = 900$