《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】已知△ABC 的三边长 a,b,c 满足 $ a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } = a c - b c $,判断△ABC 的形状,并说明理由.
解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$，
$\therefore$$(a-b)^{2}=c(a-b)$，
$\therefore$$(a-b)^{2}-c(a-b)=0$，
$\therefore$$(a-b)(a-b-c)=0$，
$\because a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，
$\therefore$$a-b-c≠0$,$\therefore$$a-b=0$,$\therefore$$a=b$．
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形．

答案： 解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$，
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$，
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$，
$\because a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，
$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$．
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形．

变式 1. 已知 a,b,c 是△ABC 的三边的长,且满足 $ a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b ( a + c ) = 0 $,判断此三角形的形状.
解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc=0$，$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0,\therefore a=b=c$，$\therefore$此三角形为等边三角形．

答案： 解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc=0$，
$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0,\therefore a=b=c$，
$\therefore$此三角形为等边三角形．

变式 2. 如果 a,b,c 是△ABC 三边的长,比较 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a c $ 与 0 的大小.
解：$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)$＜0．

答案： 解：$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)＜0$．

【典例 2】如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块,其中有 2 块是边长都为 a 厘米的大正方形,2 块是边长都为 b 厘米的小正方形,5 块是长为 a 厘米,宽为 b 厘米的相同的小长方形,且 $ a ＞ b $.
(1)观察图形,可以发现代数式 $ 2 a ^ { 2 } + 5 a b + 2 b ^ { 2 } $ 可以因式分解为$(2a + b)(a + 2b)$；
(2)若图中阴影部分的面积为 242 平方厘米,大长方形纸板的周长为 78 厘米,求图中空白部分的面积.120平方厘米

答案： 1. （1）
观察图形，大长方形的长为$(2a + b)$厘米，宽为$(a + 2b)$厘米，其面积为$(2a + b)(a + 2b)$平方厘米，而大长方形的面积也等于$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$平方厘米。
所以$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=(2a + b)(a + 2b)$。
2. （2）
已知阴影部分面积$S_{阴}=2a^{2}+2b^{2}=242$，大长方形周长$C = 2[(2a + b)+(a + 2b)]=78$。
由$2a^{2}+2b^{2}=242$，得$a^{2}+b^{2}=121$。
由$2[(2a + b)+(a + 2b)]=78$，化简$2(3a + 3b)=78$，即$3(a + b)=39$，所以$a + b = 13$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，把$a^{2}+b^{2}=121$，$a + b = 13$代入可得：$13^{2}=121+2ab$。
即$169 = 121+2ab$，移项得$2ab=169 - 121$，$2ab = 48$，$ab = 24$。
空白部分面积$S_{空}=5ab$。
把$ab = 24$代入$S_{空}=5ab$，得$S_{空}=5×24 = 120$（平方厘米）。
综上，（1）$(2a + b)(a + 2b)$；（2）空白部分面积为$120$平方厘米。