《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】求证：$\angle BDC= \angle B+\angle C+\angle A$.

答案：
方法 1:延长 BD 交 AC 于 E
二次运用外角定理

方法 2:连接 BC 二次运用内角和
方法 3:连接 AD 并延长至 E
二次运用外角定理

变式 1. 如图 1,$\angle A= 52^{\circ}$,$\angle B= 25^{\circ}$,$\angle C= 30^{\circ}$,$\angle D= 35^{\circ}$,$\angle E= 72^{\circ}$,那么$\angle F$的度数是(A)


A.$70^{\circ}$
B.$73^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： A
(提示:连接 AD,$∠E+∠F=∠B+∠C+∠D+∠A.$)

变式 2. 如图 2,若$\angle AED= 100^{\circ}$,$\angle BFC= 110^{\circ}$,则$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D= $$210^{\circ }$.

答案： $210^{\circ }$

【典例 2】如图,$BP平分\angle ABD$,$CP平分\angle ACD$,$\angle A= 80^{\circ}$,$\angle D= 160^{\circ}$. 求$\angle P$的度数.

解:延长 BP 交 AC 于 E 点,
设$∠ABP=x,∠ACP=y,$
则$∠P=x+y+80^{\circ },$
$∠D=x+y+∠P=160^{\circ },$
$\therefore 2x+2y+80^{\circ }=160^{\circ },$
$x+y=40^{\circ },$
$\therefore ∠P=40^{\circ }+80^{\circ }=120°.$

答案： 解:延长 BP 交 AC 于 E 点,
设$∠ABP=x,∠ACP=y,$
则$∠P=x+y+80^{\circ },$
$∠D=x+y+∠P=160^{\circ },$
$\therefore 2x+2y+80^{\circ }=160^{\circ },$
$x+y=40^{\circ },$
$\therefore ∠P=40^{\circ }+80^{\circ }=120^{\circ }.$

变式. 如图,$\angle ABP= 2\angle DBP$,$\angle ACP= 2\angle PCD$.
(1)$\angle P= 120^{\circ}$,$\angle D= 160^{\circ}$,求$\angle A$的大小；40°
(2)探究$\angle A$,$\angle P$,$\angle D$间的数量关系______3∠P=∠A+2∠D.

答案： 解:
(1)设$∠PBD=α,∠PCD=β,$
$\therefore α+β=40^{\circ },$
$\therefore 2α+2β=80^{\circ },120^{\circ }=80^{\circ }+∠A,$
$\therefore ∠A=40^{\circ }.$
(2)$3∠P=∠A+2∠D$