《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】(1)计算下列两个数的积(每组中两个数的和为定值),你能发现结果有什么规律吗?
①$30×30,35×25,43×17,52×8;$
②$50×50,53×47,74×26,91×9.$
(2)你能用本章所学知识解释你发现的规律吗?
(3)利用你发现的规律解决下面的问题:
用 20 m 长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边长有什么关系? 你能得出更一般的结论吗?

答案： 解:
(1)当和相等时,两数相等积最大;
(2)$a + b = m$,
$y = ab = a(m - a) = -a^{2} + am = -(a^{2} - am + \frac{1}{4}m^{2}) + \frac{1}{4}m^{2} = \frac{1}{4}m^{2} - (a - \frac{1}{2}m)^{2}$
当$a = \frac{1}{2}m$时,即$a = b$时,$y$最大;
(3)设长方形的边长分别为$a\mathrm{m}$,$b\mathrm{m}$,
$a + b = 10$,
$S = ab = a(10 - a) = -a^{2} + 10a = -(a^{2} - 10a + 25) + 25 = 25 - (a - 5)^{2}$,
当$a = 5$时,面积最大.用周长一定的绳子围成一个长方形,正方形的面积最大.

(1)代数式:①$a^{2}-2a+1$;②$a^{2}+4$;③$4ab+4a^{2}+b^{2}$;④$(a+b)^{2}+1-2(a+b)$中,是完全平方式的是____①③④(填序号);

答案： 解:
(1)①③④

(2)若 a,b,c 是$\triangle ABC$的三边长,比较$4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}$与 0 的大小关系,并说明理由;

答案： 解:
(2)$\because a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三边长,
$\therefore b + c + a ＞ 0$,$b + c - a ＞ 0$,
$a + b - c ＞ 0$,$a - b + c ＞ 0$,
$\therefore 4b^{2}c^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2}$
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(3)若$ab= -\frac {1}{4}$,则$\frac {a^{3}+1}{a}+\frac {b^{3}+1}{b}$的最小值为$-\frac{7}{2}$.

答案： $-\frac{7}{2}$