《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】在△ABC内找一点P,使P到A,C两点的距离相等,并且P到AC的距离等于P到BC的距离,下列尺规作图正确的是(D)

答案： D

变式1.如图,已知△ABC,AB＜BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC= BC,则下列选项正确的是(B)

答案： B

变式2.尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.已知：如图1,直线l及其外一点A.求作：l的垂线,使它经过点A.
小云的作法如下：
①在直线l上任取一点B,连接AB；
②以点A为圆心,线段AB的长度为半径作弧,交直线l于点D；
③分别以B,D为圆心,线段AB的长度为半径作弧,两弧相交于点C；
④作直线AC,直线AC即为所示(如图2).
请证明：AC⊥直线l.
证明：$\triangle ABC\cong \triangle ADC(SSS)$，$\therefore ∠BAC=∠CAD$，设 AC 交 BD 于点 O，$\therefore \triangle ABO\cong \triangle ADO$，$\therefore ∠AOB=∠AOD=90^{\circ }$，$\therefore AO⊥OC$．

答案： 证明：$\triangle ABC\cong \triangle ADC(SSS)$，$\therefore ∠BAC=∠CAD$，
设 AC 交 BD 于点 O，
$\therefore \triangle ABO\cong \triangle ADO$，$\therefore ∠AOB=∠AOD=90^{\circ }$，
$\therefore AO⊥OC$．

【典例2】已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.
由(1),(2)可得：线段EF与线段BD的关系为(D)

A.相等 B.垂直 C.垂直且相等 D.互相垂直平分

答案： D

变式.如图,在矩形ABCD中,AB= 1,AD= 3,①以点A为圆心,以不大于AB长为半径作弧,分别交边AD,AB于点E,F,再分别以点E,F为圆心,以大于$\frac{1}{2}EF$长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP分别交BD,BC于点O,Q；②分别以点C,Q为圆心,以大于$\frac{1}{2}CQ$长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN交QC于点G,则QG的长为1.

答案： 1