《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例 1】(手拉手模型)如图,$AD= AB,AC= AE,∠DAB= ∠CAE$,求证:$CD= BE$.

证明：$\because \angle DAB=\angle CAE,\therefore$$\angle DAC=\angle BAE$，
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\ \angle DAC=\angle BAE\\ AC=AE\end{array}\right.$，$\therefore$$\triangle DAC\cong \triangle BAE$(SAS)，$\therefore CD=BE$。

答案： 【典例 1】证明：$\because \angle DAB=\angle CAE,\therefore \angle DAC=\angle BAE$，
$\therefore \triangle DAC\cong \triangle BAE,\therefore CD=BE$。

变式 1.如图,$CA= CB,CD= CE,∠ACB= ∠DCE= 90^{\circ }$,A,D,E 在一条直线上,求证:$BD⊥AE$.
证明：$\triangle ACE\cong \triangle BCD,\therefore \angle EAC=\angle DBC$，$\angle ADB=\angle ACB=90^{\circ },\therefore BD\perp AE$.

答案： 变式 1. 证明：$\triangle ACE\cong \triangle BCD,\therefore \angle EAC=\angle DBC$，
$\therefore \angle ADB=\angle ACB=90^{\circ },\therefore BD\perp AE$。

变式 2.(一线三等角模型)如图,点 D,E,F 分别在$△ABC$三边上,$DE= DF,AE= BD,∠EDF= ∠A$.求证:$AD= BF$.
证明：$\because \angle EDB=\angle A+\angle AED$，$\angle EDB=\angle EDF+\angle FDB$，$\angle EDF=\angle A$，$\therefore \angle FDB=\angle AED$.在$\triangle ADE$和$\triangle BFD$中，$\because \left\{\begin{array}{l} \angle AED=\angle FDB\\ AE=BD\\ DE=FD\end{array}\right.$，$\therefore \triangle ADE\cong \triangle BFD$（AAS），$\therefore AD=BF$.

答案： 变式 2. 证明：$\because \angle EDB=\angle A+\angle AED$，
$\therefore \angle FDB=\angle AED,\therefore \triangle ADE\cong \triangle BFD$，
$\therefore AD=BF$。

变式 3.(角平分线模型)如图,$AC⊥BC,CD⊥AB$于 D,AE 平分$∠BAC$交 CD 于 E,点 F 在 AB 上,$AC= AF$,求证:$EF// BC$.

证明：$\triangle ACE\cong \triangle AFE$，$\angle AFE=\angle ACD=\angle B$，$\therefore EF// BC$。

答案： 变式 3. 证明：$\triangle ACE\cong \triangle AFE$，
$\angle AFE=\angle ACD=\angle B$，
$\therefore EF// BC$。

【典例 2】(三垂直模型)如图,$AC= CB,AC⊥CB$,AD 为中线,$BE// AC$,且$BE= CD$,求证:$AD⊥CE$.

证明：证$\triangle ACD\cong \triangle CBE$，$\angle BCE=\angle CAD$，$\therefore CE\perp AD$。

答案： 【典例 2】证明：证$\triangle ACD\cong \triangle CBE$，
$\angle BCE=\angle CAD$，
$\therefore CE\perp AD$。

【典例 3】(中线倍长模型)如图,AD 为$△ABC$中线,$AB= 7,AC= 5$,求 AD 的取值范围.
解：延长 $AD$ 至 $E$，使 $AD=DE$，连接 $BE$，
$\triangle ACD\cong \triangle EBD$，
$AC=BE$，
$2＜2AD＜12$，
$1＜AD＜6$。
AD 的取值范围是$1＜AD＜6$。
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答案： 【典例 3】解：延长 $AD$ 至 $E$，使 $AD=DE$，连接 $BE$，
$\triangle ACD\cong \triangle EBD$，
$AC=BE$，
$2＜2AD＜12$，
$1＜AD＜6$。