《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

11.如图,在$\triangle ABC$中,$D,E分别为AB,AC$上的动点,$\angle EDC= \angle ECD$,$DF平分\angle EDB交BC于点F$,若$\angle FDC= 40^{\circ}$,则$\angle A$的度数为(D)

A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： D

12.在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= \angle ACB$,$BD为\triangle ABC$的高,$\angle DBA= 40^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为(C)
A.$50^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$50^{\circ}或130^{\circ}$
D.$50^{\circ}或70^{\circ}$

答案： C

13.如图,点$C在点A的南偏东35^{\circ}$方向上,点$C在点B的北偏东75^{\circ}$方向上,则$\angle ACB$的度数为(C)

A.$35^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： C

14.如下三图,$AB// CD$,求$\angle AEC$的大小.(平行凸凹型)

$\angle AEC=$$80^{\circ }$
$\angle AEC=$$50^{\circ }$
$\angle AEC=$$120^{\circ }$

答案： 1. 对于第一个图：
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$EF// CD$。
根据两直线平行，内错角相等，$\angle A=\angle AEF = 50^{\circ}$，$\angle C=\angle CEF = 30^{\circ}$。
则$\angle AEC=\angle AEF+\angle CEF$，所以$\angle AEC = 50^{\circ}+30^{\circ}=80^{\circ}$。
2. 对于第二个图：
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$。
设$\angle EAB = 125^{\circ}$，则$\angle FEA=180^{\circ}-\angle EAB=180 - 125^{\circ}=55^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle C = 75^{\circ}$，$\angle FEC=\angle C = 75^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle AEC=\angle FEC-\angle FEA$，即$\angle AEC=75^{\circ}-55^{\circ}=20^{\circ}$。
3. 对于第三个图：
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$。
设$\angle EAB = 130^{\circ}$，则$\angle FEA = 180^{\circ}-\angle EAB=180 - 130^{\circ}=50^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），设$\angle ECD = 110^{\circ}$，则$\angle FEC=180^{\circ}-\angle ECD=180 - 110^{\circ}=70^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$\angle AEC=\angle FEA+\angle FEC$，即$\angle AEC=50^{\circ}+70^{\circ}=120^{\circ}$。
故答案依次为：$80^{\circ}$；$20^{\circ}$；$120^{\circ}$。

15.如图,D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC= 80°,∠BAC= 70°,求∠B和∠C的度数.
∠B=40°,∠C=70°.

答案： 1. 首先，根据三角形外角性质：
因为$\angle ADC$是$\triangle ABD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角之和，即$\angle ADC=\angle B + \angle BAD$。
已知$\angle B=\angle BAD$，$\angle ADC = 80^{\circ}$，设$\angle B=\angle BAD=x$，则$x + x=\angle ADC$。
即$2x = 80^{\circ}$，解得$x = 40^{\circ}$，所以$\angle B = 40^{\circ}$。
2. 然后，根据三角形内角和定理：
在$\triangle ABC$中，已知$\angle BAC = 70^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，由三角形内角和定理$\angle B+\angle BAC+\angle C=180^{\circ}$（\ \angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}\）。
则$\angle C=180^{\circ}-\angle B-\angle BAC$。
把$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle BAC = 70^{\circ}$代入可得：$\angle C=180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。
综上，$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$。

16.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ},\angle CAB,\angle CBA的平分线相交于点D$,$BD的延长线交AC于E$,求$\angle ADE$的度数.

$\angle ADE=$$45^{\circ}$.

答案： 解：
因为在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}$。
由于$AD$平分$\angle CAB$，$BD$平分$\angle CBA$，则$\angle DAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle DBA=\frac{1}{2}\angle CBA$。
那么$\angle DAB+\angle DBA=\frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle ADE$是$\triangle ABD$的外角，所以$\angle ADE=\angle DAB+\angle DBA = 45^{\circ}$。
综上，$\angle ADE$的度数为$45^{\circ}$。

17.如图,$CD平分\angle ACB交\angle ABC的外角平分线于D$.求证：$\angle A= 2\angle D$.

证明:设$∠BCD=α,∠ABD=β$,
$\therefore ∠D=β-α,$
又$\because 2β-2α=∠A,$
$\therefore ∠A=2∠D.$

答案： 解：设$\angle ABC$的外角为$\angle ABE$。
因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD = \angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB$。
因为$BD$平分$\angle ABE$，所以$\angle ABD=\angle EBD = \frac{1}{2}\angle ABE$。
根据三角形外角性质：$\angle ABE=\angle A+\angle ACB$，$\angle EBD=\angle D+\angle BCD$。
则$\frac{1}{2}\angle ABE=\angle D+\frac{1}{2}\angle ACB$。
把$\angle ABE=\angle A+\angle ACB$代入$\frac{1}{2}\angle ABE=\angle D+\frac{1}{2}\angle ACB$中得：
$\frac{1}{2}(\angle A+\angle ACB)=\angle D+\frac{1}{2}\angle ACB$。
去括号得：$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle ACB=\angle D+\frac{1}{2}\angle ACB$。
两边同时减去$\frac{1}{2}\angle ACB$得：$\angle A = 2\angle D$。
综上，$\angle A = 2\angle D$得证。