《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

【典例1】若$2022×2023×2024×2025+1= (1+x)^{2}$,求x的值.

答案： 解:设$2022 = m$，则
$\begin{aligned}&m(m + 1)(m + 2)(m + 3) + 1\\=&(m^{2} + 3m)(m^{2} + 3m + 2) + 1\\=&(m^{2} + 3m)^{2} + 2(m^{2} + 3m) + 1\\=&(m^{2} + 3m + 1)^{2}\end{aligned}$
$\therefore x = m^{2} + 3m = m(m + 3) = 2022×2025$。

变式1.求证:$(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36$是一个完全平方数.

答案： 证明:原式$=(x^{2} - 3x - 10)(x^{2} - 3x + 2) + 36$
$\begin{aligned}&=(x^{2} - 3x)^{2} - 8(x^{2} - 3x) + 16\\&=(x^{2} - 3x - 4)^{2}\end{aligned}$
即原式是一个完全平方数。

变式2.求证:$2024^{2}+2024^{2}×2025^{2}+2025^{2}$是一个完全平方数.

答案： 证明:设$2024 = x$，$2025 = y$，
$y - x = 1$，
$\therefore (y - x)^{2} = 1$，
$y^{2} + x^{2} - 2xy = 1$，
$\therefore$原式$=x^{2} + x^{2}y^{2} + y^{2}$
$\begin{aligned}&=x^{2}y^{2} + 2xy + 1\\&=(xy + 1)^{2}\\&=(2024×2025 + 1)^{2}\end{aligned}$
即原式是一个完全平方数。

变式3.用科学记数法表示$9999×9999+19999$.

答案： 解:原式$=9999^{2} + 9999×2 + 1 = (9999 + 1)^{2} = 10^{8}$。

【典例2】已知$4^{96}-1$可以被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是(B)
A.61,63
B.63,65
C.65,67
D.63,64

答案： B
解:$4^{96} - 1 = (4^{48} + 1)(4^{48} - 1)$
$\begin{aligned}&=(4^{48} + 1)(4^{24} + 1)(4^{24} - 1)\\&=(4^{48} + 1)(4^{24} + 1)(4^{12} + 1)(4^{6} + 1)(4^{3} + 1)(4^{3} - 1)\\&=(4^{48} + 1)(4^{24} + 1)(4^{12} + 1)(4^{6} + 1)×65×63\end{aligned}$

变式1.计算:$101×102^{2}-101×98^{2}=$(D)
A.404
B.808
C.40400
D.80800

答案： D
解:$101×102^{2} - 101×98^{2} = 101×(102^{2} - 98^{2}) = 101×200×4 = 80800$

变式2.求证:$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.

答案： 证明:原式$=(3^{4})^{7} - (3^{3})^{9} - (3^{2})^{13}$
$\begin{aligned}&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(9 - 3 - 1)\\&=5×3^{26}\\&=5×3^{2}×3^{24}\\&=45×3^{24}\end{aligned}$
故$81^{7} - 27^{9} - 9^{13}$能被45整除。