《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

7. 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为()

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2$\sqrt{3}$

答案： C

8. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3，6)、(-3，3)、(7，-2)，则△ABC的内心的坐标为.

答案： (2, 3)

9. (2023·攀枝花)已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为$\pi r^{2}$，则△ABC的面积为.

答案： $\frac{1}{2}lr$

10. (整体思想)(2024·太仓期末)如图，△ABC的周长是18 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F. 已知AB=6 cm，则△CEF的周长为cm.

答案： 12

11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=6，BC=8，求△ABC的内切圆的周长.

答案：
(1)
过点 $D$ 作 $DG \perp AB$，垂足为 $G$。
由于 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DF \perp AC$，$DG \perp AB$，根据角平分线的性质，得到 $DF = DG$。
同理，由于 $BD$ 平分 $\angle ABC$，$DE \perp BC$，$DG \perp AB$，得到 $DE = DG$。
因此，$DE = DF$，且 $\angle C = \angle DFC = \angle DEC = 90°$。
所以四边形 $CFDE$ 是矩形，又因为 $DE = DF$，所以矩形 $CFDE$ 是正方形。
(2)
设 $\odot D$ 与 $AB$ 的切点为 $G$，链接 $AD,CD,DG$，由于 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$BD$平分$\angle ABC$，
根据（1）可得$DF=DE=DG$，
所以$\odot D$是$\triangle ABC$的内切圆，
由于 $AC = 6$，$BC = 8$，根据勾股定理，得到 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
设 $DE = x$，则 $CE = x$，$BE = 8 - x$，$AF = 6 - x$，$BG = 10 - (6 - x) - (8-x中的AF部分)= 4 + x-x(简化后为4) = 4$（也可以通过切线长定理直接得出 $BG = AB - AG = 10 - 6+x-x(AF部分) = 4$）。
由于 $BG = BE$，得到 $4 = 8 - x$，解得 $x = 2(或4 = 10 - 6 + x - x(通过切线长定理简化计算),x = 2)$。
因此，$\odot D$ 的半径为 2，所以 $\odot D$ 的周长为 $2\pi × 2 = 4\pi$。

12. （2024·烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，连接AD、BD、BE、CE.
（1）若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并说明理由.

答案： （1）65°
（2）DA，DB。
理由：
①连接AI，
∵I是△ABC内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB。
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，则CI平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°。
∵∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，故AD=BD。
②∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠IAC+∠ICA。
∵弧AD=弧BD，AB为直径，
∴∠DAB=45°。
∵AI平分∠BAC，设∠BAC=2α，则∠BAI=∠IAC=α，∠DIA=α+45°。
∠DAI=45°+α，
∴∠DAI=∠DIA，故DI=DA。
同理，连接BI，可证∠DBI=∠DIB，得DI=DB。
综上，DI=DA=DB。