《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

11. 用适当的方法解下列方程：
（1）$\frac{1}{2}x(x+2)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x$；
（2）(2024·张家港期末)$(x-2)^{2}=6-3x$；
（3）$4(2x-1)^{2}-9(x+1)^{2}=0$；
（4）$4(t-5)^{2}+4(5-t)+1=0$.

答案： （1）
$\frac{1}{2}x(x + 2)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x$，
方程两边同时乘以4去分母得：
$2x(x + 2)=3 - 2x$，
展开得$2x^{2}+4x=3 - 2x$，
移项化为一般形式为$2x^{2}+6x - 3=0$，
其中$a = 2$，$b = 6$，$c=-3$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4×2×(-3)=36 + 24 = 60$，
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$，
$x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$。
（2）
$(x - 2)^{2}=6 - 3x$，
展开得$x^{2}-4x + 4=6 - 3x$，
移项化为一般形式为$x^{2}-x - 2=0$，
因式分解得$(x - 2)(x+1)=0$，
则$x - 2=0$或$x + 1=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
（3）
$4(2x - 1)^{2}-9(x + 1)^{2}=0$，
利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，
其中$a = 2(2x - 1)$，$b = 3(x + 1)$，
$[2(2x - 1)+3(x + 1)][2(2x - 1)-3(x + 1)]=0$，
$(4x-2 + 3x+3)(4x-2-3x-3)=0$，
$(7x + 1)(x - 5)=0$，
则$7x+1=0$或$x - 5=0$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{7}$，$x_{2}=5$。
（4）
$4(t - 5)^{2}+4(5 - t)+1=0$，
变形得$4(t - 5)^{2}-4(t - 5)+1=0$，
设$m=t - 5$，则方程化为$4m^{2}-4m + 1=0$，
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$(2m - 1)^{2}=0$，
$2m-1=0$，
$m=\frac{1}{2}$，
即$t - 5=\frac{1}{2}$，
解得$t=\frac{11}{2}$。

12. 已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根.

答案： 根据题意，一元二次方程 $mx^{2} - (3m - 1)x + 2m - 1 = 0$ 的根的判别式为1。
首先，根的判别式 $\Delta$ 为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
其中，$a = m$，$b = -(3m - 1)$，$c = 2m - 1$。
代入得：
$\Delta = (3m - 1)^{2} - 4m(2m - 1) = 1$
展开并整理得：
$9m^{2} - 6m + 1 - 8m^{2} + 4m = 1$
$m^{2} - 2m = 0$
$m(m - 2) = 0$
从上式可得，$m$ 的值为 $0$ 或 $2$。
由于 $m$ 是二次项系数，所以 $m \neq 0$，因此 $m = 2$。
将 $m = 2$ 代入原方程得：
$2x^{2} - 5x + 3 = 0$
因式分解得：
$(2x - 3)(x - 1) = 0$
从上式可得，方程的根为：
$x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。
综上，$m$的值为$2$，方程的根为$x_{1} = 1$，$x_{2} = 1.5$。

13. 已知$\triangle ABC$的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根，第三边BC的长为5.
（1）当k为何值时，$\triangle ABC$是直角三角形？
（2）当k为何值时，$\triangle ABC$是等腰三角形？请求出此时$\triangle ABC$的周长.

答案： （1）
首先解方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$，
因式分解得$(x - k - 1)(x - k - 2)=0$，
解得$x_1=k + 1$，$x_2=k + 2$。
不妨设$AB=k + 1$，$AC=k + 2$。
因为$\triangle ABC$是直角三角形，根据勾股定理：
若$BC$为斜边，则$(k + 1)^{2}+(k + 2)^{2}=5^{2}$，
$k^{2}+2k + 1+k^{2}+4k+4 = 25$，
$2k^{2}+6k - 20 = 0$，
$k^{2}+3k - 10 = 0$，
$(k + 5)(k - 2)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-5$。
因为$AB=k + 1\gt0$，$AC=k + 2\gt0$，所以$k\gt - 1$，则$k = 2$。
若$AC$为斜边，则$(k + 1)^{2}+5^{2}=(k + 2)^{2}$，
$k^{2}+2k + 1+25=k^{2}+4k + 4$，
$2k=22$，
解得$k = 11$。
综上，当$k = 2$或$k = 11$时，$\triangle ABC$是直角三角形。
（2）
若$AB = BC$，即$k + 1 = 5$，解得$k = 4$，
此时$AC=k + 2=6$，$AB = 5$，$BC = 5$，
因为$5+5\gt6$，能构成三角形，周长为$5 + 5+6 = 16$。
若$AC = BC$，即$k + 2 = 5$，解得$k = 3$，
此时$AB=k + 1=4$，$AC = 5$，$BC = 5$，
因为$4+5\gt5$，能构成三角形，周长为$4 + 5+5 = 14$。
所以当$k = 3$时，$\triangle ABC$的周长为$14$；当$k = 4$时，$\triangle ABC$的周长为$16$。