《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

1. (2024·苏州期末)若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0$有两个不相等的正实数根,则m可能的值是 ()

A.5
B.3
C.0
D.-1

答案： B

2. (易错题)(2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,则p的值为 ()

A.-1
B.3
C.1或-3
D.-1或3

答案： B

3. (2023·岳阳)已知关于x的方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=2$,则m的值为.

答案： 3

4. 设$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+5x-3=0$的两个实数根,且$2x_{1}(x_{2}^{2}+6x_{2}-3)+a=4$,则a的值为.

答案： 10

5. (2023·襄阳)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个实数根分别为α、β,且$k^{2}=αβ+3k$,求k的值.

答案：
(1) 方程 $x^{2}+2x+3-k=0$ 有两个不相等的实数根，则判别式 $\Delta ＞ 0$。
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × (3 - k) = 4 - 12 + 4k = 4k - 8$
由 $\Delta ＞ 0$ 得：
$4k - 8 ＞ 0$
$4k ＞ 8$
$k ＞ 2$
(2) 方程的两个实数根为 $\alpha$、$\beta$，由根与系数的关系得：
$\alpha + \beta = -2$
$\alpha\beta = 3 - k$
代入 $k^{2} = \alpha\beta + 3k$ 得：
$k^{2} = 3 - k + 3k$
$k^{2} - 2k - 3 = 0$
$(k - 3)(k + 1) = 0$
$k = 3 \quad 或 \quad k = -1$
由于 $k ＞ 2$，所以 $k = 3$。

6. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$,求m的值.

答案： 1. 对于方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=m^{2}-4m-1$。
2. 判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-4m-1)=16m + 4$，因方程有两个实数根，故$\Delta\geq0$，即$16m + 4\geq0$，解得$m\geq-\frac{1}{4}$。
3. 由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-4m-1$。
4. 化简$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}$：$\begin{aligned}&(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}\\=&x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+4 - 2x_{1}x_{2}\\=&-x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2}) + 4\end{aligned}$
5. 代入韦达定理：$\begin{aligned}&-(m^{2}-4m-1)+2×2m + 4 = 17\\&-m^{2}+4m + 1 + 4m + 4 = 17\\&-m^{2}+8m - 12 = 0\\&m^{2}-8m + 12 = 0\end{aligned}$
6. 解方程$m^{2}-8m + 12 = 0$，得$(m - 2)(m - 6)=0$，即$m=2$或$m=6$。
7. 因$2\geq-\frac{1}{4}$，$6\geq-\frac{1}{4}$，均满足条件。
$m=2$或$m=6$

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k-1)x+k^{2}+3=0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,设$t=\frac {x_{1}+x_{2}}{k}$,则t的最大值为 ()

A.-2
B.2
C.-4
D.4

答案： D