《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

7. (2024·昆山期末)如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,E是BC的中点,连接OE并延长,交$\odot O$于点D,连接BD.若$∠D=62^{\circ}$,则$∠A$的度数为 ()

A.$56^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案： D

8. (2024·菏泽)如图,$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形.若$OA// CB,∠ACB=25^{\circ}$,则$∠CAB=$$^{\circ}$.

答案： 40

9. 如图,AB、CD是$\odot O$的弦,延长AB、CD相交于点P.若$∠P=30^{\circ},∠AOC=80^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BD}$的度数是.

答案： 20°

10. (转化与化归思想)(2023·鞍山)如图,AC、BC为$\odot O$的两条弦,D、G分别为AC、BC的中点,$\odot O$的半径为2.若$∠C=45^{\circ}$,则DG的长为.

答案： √2

11. 如图,在四边形ABCD中,$AD=BC,∠B=∠D$,AD不平行于BC,过点C作$CE// AD$,交$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$于点E,连接AE.
(1) 求证:四边形AECD为平行四边形;
(2) 连接CO,求证:CO平分$∠BCE$.

答案：
(1)
∵E在△ABC的外接圆⊙O上，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠AEC=∠ABC（同弧AC所对的圆周角相等）。
∵∠B=∠D，
∴∠AEC=∠D。
∵CE//AD，
∴∠D+∠ECD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠AEC+∠ECD=180°，
∴AE//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AE//CD且CE//AD，
∴四边形AECD为平行四边形。
(2)
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD=CE。
∵AD=BC，
∴CE=BC。
∴弧BC=弧CE（同圆中，等弦对等弧），
∴∠BOC=∠EOC（等弧所对的圆心角相等）。在△BOC和△EOC中，OB=OE，∠BOC=∠EOC，OC=OC，
∴△BOC≌△EOC（SAS），
∴∠OCB=∠OCE，即CO平分∠BCE。

12. (2023·温州)如图,四边形ABCD的四个顶点均在$\odot O$上,$BC// AD,AC⊥BD$.若$∠AOD=120^{\circ},AD=\sqrt{3}$,求:
(1) $∠CAO$的度数;
(2) BC的长.

答案：
(1) 连接OA、OD，
∵∠AOD=120°，OA=OD，
∴△AOD为等腰三角形，∠OAD=∠ODA=30°。由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2·OA·OD·cos120°，即(√3)²=2r²-2r²·(-1/2)，解得r=1。以O为原点建立坐标系，D(1,0)，A(-1/2,√3/2)，由AD//BC及AC⊥BD，得C(0,-1)。向量AO=(1/2,-√3/2)，向量AC=(1/2,-(2+√3)/2)，计算得cos∠CAO=(√6+√2)/4，
∴∠CAO=15°。
(2) 点B(-√3/2,-1/2)，C(0,-1)，BC=√[(0+√3/2)²+(-1+1/2)²]=√(3/4+1/4)=1。
(1) 15°；
(2) 1。