《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

5. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元/千克,则月销售量就减少10千克.设这种水果的售价为x元/千克,若要使月利润为8750元,则可列方程为(结果化为一般形式).

答案： 设售价为$x$元/千克。
每千克利润为$(x - 40)$元。
售价在50元基础上上涨$(x - 50)$元，月销售量减少$10(x - 50)$千克，故月销售量为$500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x$千克。
月利润为$(x - 40)(1000 - 10x)$，依题意得方程：
$(x - 40)(1000 - 10x) = 8750$
展开并整理：
$\begin{aligned}(x - 40)(1000 - 10x) &= 8750 \\1000x - 10x^2 - 40000 + 400x &= 8750 \\-10x^2 + 1400x - 40000 - 8750 &= 0 \\-10x^2 + 1400x - 48750 &= 0 \\x^2 - 140x + 4875 &= 0\end{aligned}$
$x^2 - 140x + 4875 = 0$

6. 一批小型西瓜以每千克2元的价格购进,以每千克3元的价格售出,每天可售出200千克.该经营户决定降价促销,经调查发现,当每千克每降价0.1元时,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本为24元.若该经营户要想每天盈利200元,则小型西瓜每千克降价元.

答案： 设每千克降价$x$元。
根据题意，降价$x$元后，售价为$(3 - x)$元/千克，每千克利润为$(3 - x - 2) = (1 - x)$元；每天多售出$\frac{40}{0.1}x = 400x$千克，销售量为$(200 + 400x)$千克。
盈利公式：总利润$=(每千克利润 × 销售量) - 固定成本$，则：
$(1 - x)(200 + 400x) - 24 = 200$
展开并化简：
$(1 - x)(200 + 400x) = 224 \\200 + 400x - 200x - 400x^2 = 224 \\-400x^2 + 200x - 24 = 0 \\50x^2 - 25x + 3 = 0$
解方程$50x^2 - 25x + 3 = 0$，判别式$\Delta = (-25)^2 - 4 × 50 × 3 = 625 - 600 = 25$，则：
$x = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{2 × 50} = \frac{25 \pm 5}{100}$
解得$x_1 = \frac{30}{100} = 0.3$，$x_2 = \frac{20}{100} = 0.2$。
$0.2$或$0.3$

7. 某烘焙店生产的蛋糕分为六个档次,第一档次(即最低档次)的蛋糕每天生产76件,每件的利润为10元.经调查表明:每生产高一个档次的蛋糕,该蛋糕每件的利润增加2元.
(1) 若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元,则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕?
(2) 由于生产工序的不同,蛋糕每提高一个档次,一天的产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕?

答案：
(1)设此批次蛋糕属于第$x$档次。
根据题意，第一档次蛋糕每件利润为$10$元，每高一个档次，利润增加$2$元。
因此，第$x$档次蛋糕每件的利润为$10 + 2(x - 1)$元。
由题意知，$10 + 2(x - 1) = 14$，
解这个方程，得到$x = 3$。
答：此批次蛋糕属于第$3$档次。
(2)设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕。
根据题意，第一档次蛋糕每天生产$76$件，每提高一个档次，产量减少$4$件。
因此，第$x$档次蛋糕的日产量为$76 - 4(x - 1)$件。
又因为第$x$档次蛋糕每件的利润为$10 + 2(x - 1)$元，所以一天的总利润为$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)]$元。
由题意知，这个总利润等于$1080$元，即：
$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)] = 1080$，
$ (2x + 8)(80 - 4x) = 1080$（化简第一档利润表达式并合并产量中的常数项），
$ -8x^2 +160x-32x +640= 1080-1080$（展开），
$ -8x^2 + 128x -440 = 0$（方程整理），
$x^2 -16x +55 = 0$（两边同时除以-8），
$(x-5)(x-11)=0$（因式分解），
解得$x = 5$或$x = 11$。
由于蛋糕分为六个档次，$x$的取值范围应在$1$到$6$之间，因此$x = 5$。
答：该烘焙店生产的是第$5$档次的蛋糕。

8. (2023·宿迁改编)某电商在网上对一款成本为每件40元的商品进行销售,如果按每件60元的价格销售,那么每天可售出20件.通过市场调查发现,每件商品的售价每降低5元,日销售量就增加10件.
(1) 若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件商品的售价应定为多少元?
(2) 小明的线下实体商店也销售同款商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该款商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该款商品至少需打几折销售?

答案：
(1) 设每件商品降价 $5x$ 元，则售价为 $60 - 5x$ 元，日销售量为 $20 + 10x$ 件。
每件利润为 $(60 - 5x - 40)$ 元。
日利润保持不变，即：
$(60 - 5x - 40)(20 + 10x) = (60 - 40) × 20$
$(20 - 5x)(20 + 10x) = 400$
$400+200x-100x-50x^2=400$
$100x-50x^2=0$
$50x(2-x)=0$
解得 $x = 0$（舍去，因为商家想尽快销售完）或 $x = 2$。
所以，每件商品降价 $5 × 2 = 10(元)$，售价为 $60 - 10 = 50(元)$。
答：每件商品的售价应定为50元。
(2) 设该款商品打 $y$ 折销售，销售价格为 $62.5 × \frac{y}{10}$ 元。
根据题意，销售价格不超过50元，即：
$62.5 × \frac{y}{10} \leq 50$
$6.25y \leq 50$
$y \leq 8$
答：该款商品至少需打8折销售。