《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

8. (2023·潍坊)利用某型号的计算器计算$\sqrt {5}$，显示结果为$2.236067977$. 借助显示结果，可以将方程$x^{2}+x-1=0$的正数解近似表示为(结果精确到$0.001$).

答案： $0.618$

9. 若一元二次方程$3x^{2}+(m-1)x-4=0$中的$b^{2}-4ac=73$，则$m$的值为.

答案： 6或-4

10. 点$M$在数轴的负半轴上，点$N$在该数轴的正半轴上，且点$M$、$N$对应的数分别为$2x-2$、$x^{2}+x$. 当线段$MN$的长为$5$时，$x$的值为.

答案： $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

11. 用公式法解下列方程：
（1）$y^{2}+2\sqrt {2}y=6$；
（2）$(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1$；
（3）$(x+1)^{2}-2(x-1)^{2}=7$；
（4）$1-t^{2}=2t(2t-1)$.

答案： （1）方程化为一般形式：$y^2 + 2\sqrt{2}y - 6 = 0$，$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$。
$\Delta = (2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-6) = 8 + 24 = 32$。
$y = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{2}$，
解得$y_1 = \sqrt{2}$，$y_2 = -3\sqrt{2}$。
（2）展开并整理：$2x^2 - x - 1 = 71 - 8x$，即$2x^2 + 7x - 72 = 0$，$a=2$，$b=7$，$c=-72$。
$\Delta = 7^2 - 4×2×(-72) = 49 + 576 = 625$。
$x = \frac{-7 \pm 25}{4}$，
解得$x_1 = \frac{9}{2}$，$x_2 = -8$。
（3）展开并整理：$x^2 + 2x + 1 - 2(x^2 - 2x + 1) = 7$，即$-x^2 + 6x - 8 = 0$，$x^2 - 6x + 8 = 0$，$a=1$，$b=-6$，$c=8$。
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×8 = 36 - 32 = 4$。
$x = \frac{6 \pm 2}{2}$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 2$。
（4）展开并整理：$1 - t^2 = 4t^2 - 2t$，即$5t^2 - 2t - 1 = 0$，$a=5$，$b=-2$，$c=-1$。
$\Delta = (-2)^2 - 4×5×(-1) = 4 + 20 = 24$。
$t = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{5}$，
解得$t_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{5}$，$t_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{5}$。

12. 已知代数式$3m^{2}+4m-3$与$-m^{2}+m-30$的值互为相反数，求$m$的值.

答案： 由题意知，代数式 $3m^{2} + 4m - 3$ 与 $-m^{2} + m - 30$ 互为相反数，即：
$3m^{2} + 4m - 3 + (-m^{2} + m - 30) = 0$，
合并同类项，得到：
$2m^{2} + 5m - 33 = 0$，
对方程 $2m^{2} + 5m - 33 = 0$ 进行因式分解，得到：
$(2m + 11)(m - 3) = 0$（根据求根公式或者十字相乘法因式分解），
由此，可以得到两个方程：
$2m + 11 = 0$，
$m - 3 = 0$，
解这两个方程，得到：
$m_{1} = -\frac{11}{2}$，
$m_{2} = 3$。

13. （分类讨论思想）已知一元二次方程$x^{2}-11x+30=0$的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 1. 解方程$x^2 - 11x + 30 = 0$，因式分解得$(x - 5)(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = 6$。
2. 情况一：底边长5，腰长6。
三边长为5，6，6，满足三角形三边关系。
作底边上的高，底边一半为$\frac{5}{2}$，由勾股定理得高$h = \sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{36 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{119}{4}} = \frac{\sqrt{119}}{2}$。
面积$S = \frac{1}{2} × 5 × \frac{\sqrt{119}}{2} = \frac{5\sqrt{119}}{4}$。
3. 情况二：底边长6，腰长5。
三边长为6，5，5，满足三角形三边关系。
作底边上的高，底边一半为3，由勾股定理得高$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$。
面积$S = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
4. 综上，$\triangle ABC$的面积为$12$或$\frac{5\sqrt{119}}{4}$。