《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

8. 已知关于x的方程$3x^{2}-px+q=0$通过配方可变形为$(x-1)^{2}=\frac {4}{3}$,则pq的值为.

答案： -6

9. 若方程$2x^{2}-8x-11=0$能配方成$(x+h)^{2}=k$的形式,则直线$y=hx-k$经过第象限.

答案： 二、三、四

10. 用配方法解下列方程:
(1)$\frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x-\frac {1}{6}=0$;
(2)$3x^{2}=2x+5$;
(3)$-2y^{2}+2\sqrt {2}y+1=0$;
(4)$(2x+3)(x-6)=16$.

答案：
(1)
$\begin{aligned} \frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x - \frac {1}{6}&=0\\x^{2}+x-\frac{1}{2}&=0\\x^{2}+x&=\frac{1}{2}\\x^{2}+x+\frac{1}{4}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\(x + \frac{1}{2})^{2}&=\frac{3}{4}\\x+\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2},x_{2}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}3x^{2}-2x - 5&=0\\3x^{2}-2x&=5\\x^{2}-\frac{2}{3}x&=\frac{5}{3}\\x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}&=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}\\(x-\frac{1}{3})^{2}&=\frac{16}{9}\\x - \frac{1}{3}&=\pm\frac{4}{3}\\x_{1}=\frac{5}{3},x_{2}&=-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}-2y^{2}+2\sqrt{2}y + 1&=0\\2y^{2}-2\sqrt{2}y - 1&=0\\y^{2}-\sqrt{2}y&=\frac{1}{2}\\y^{2}-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\(y - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}&=1\\y-\frac{\sqrt{2}}{2}&=\pm1\\y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1,y_{2}&=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(2x + 3)(x - 6)&=16\\2x^{2}-12x+3x - 18 - 16&=0\\2x^{2}-9x - 34&=0\\x^{2}-\frac{9}{2}x&=17\\x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}&=17+\frac{81}{16}\\(x-\frac{9}{4})^{2}&=\frac{353}{16}\\x-\frac{9}{4}&=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}\\x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_{2}&=\frac{9 - \sqrt{353}}{4}\end{aligned}$

11. 当x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+1＜3x-3,\\ \frac {1}{2}(x-4)＜\frac {1}{3}(x-4)\end{array}\right. $时,求方程$2x^{2}-3x-5=0$的根.

答案： $x = \frac{5}{2}$

12. 求证:对于任意实数m,关于x的方程$(-2m^{2}+8m-12)x^{2}-3x+1=0$都是一元二次方程.

答案： 要证明对于任意实数$m$，方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$是一元二次方程，只需证明其二次项系数不为$0$。
对二次项系数$-2m^{2}+8m - 12$进行变形：
$\begin{aligned}-2m^{2}+8m - 12&=-2(m^{2}-4m + 6)\\&=-2[(m^{2}-4m + 4)+2]\\&=-2[(m - 2)^{2}+2]\end{aligned}$
因为$(m - 2)^{2}\geq0$，所以$(m - 2)^{2}+2\geq2$，则$-2[(m - 2)^{2}+2]\leq-4$。
即二次项系数$-2m^{2}+8m - 12\leq-4\neq0$。
所以对于任意实数$m$，原方程的二次项系数不为$0$，该方程是一元二次方程。
结论：对于任意实数$m$，关于$x$的方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$都是一元二次方程。