《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

8. 已知a、b是关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+p-1=0$的两个非负实数根.若p是实数,求$(a-1)(b-1)$的最小值与最大值.

答案：
∵a、b是方程$x^{2}-2x+p-1=0$的两个非负实数根，
∴由根与系数关系得：$a+b=2$，$ab=p-1$。
由题意得：
1. 判别式$\Delta \geq 0$：$\Delta=(-2)^2-4×1×(p-1)=8-4p\geq0\Rightarrow p\leq2$；
2. 非负根条件：$ab\geq0\Rightarrow p-1\geq0\Rightarrow p\geq1$；
综上，$p\in[1,2]$。
$\because(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=(p-1)-2+1=p-2$，
又$p\in[1,2]$，
$\therefore$当$p=1$时，$(a-1)(b-1)_{min}=1-2=-1$；
当$p=2$时，$(a-1)(b-1)_{max}=2-2=0$。
最小值为$-1$，最大值为$0$。

9. 已知关于x的方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$.求:
(1)m的取值范围;
(2)$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$的最小值.

答案：
(1)
因为方程$x^{2}-2x + m - 2 = 0$有两个实数根，所以$\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0$，
其中$a = 1$，$b=-2$，$c=m - 2$，
则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(m - 2)\geqslant0$，
$4-4m + 8\geqslant0$，
$12-4m\geqslant0$，
$4m\leqslant12$，
解得$m\leqslant3$。
(2)
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=m - 2$。
所以$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=3(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}$
$=3×2-(m - 2)$
$=6 - m + 2$
$=8 - m$
因为$m\leqslant3$，所以$-m\geqslant - 3$，
则$8 - m\geqslant8 - 3=5$。
所以$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$的最小值是$5$。

10. (2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求m的值.

答案：
(1)
对于一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b=-(m + 2)$，$c = m - 1$。
根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，可得：
$\Delta=(m + 2)^{2}-4(m - 1)$
$=m^{2}+4m+4-4m + 4$
$=m^{2}+8$
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$m^{2}+8\gt0$。
所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)
由根与系数关系可知$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$。
将$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$得：
$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$
$m^{2}+4m+4-3m + 3=9$
$m^{2}+m - 2=0$
$(m + 2)(m - 1)=0$
解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$。

11. (分类讨论思想)已知关于x的方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
(2)设$x_{1}$、$x_{2}$是方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$的两个实数根,记$S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$,则S的值能为1吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.

答案：
(1)证明：
当$k - 1 = 0$，即$k = 1$时，方程为$2x + 2 = 0$，解得$x = -1$，有实数根；
当$k - 1 \neq 0$，即$k \neq 1$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta=(2k)^2 - 4(k - 1)×2 = 4k^2 - 8k + 8 = 4[(k - 1)^2 + 1]$。
$\because (k - 1)^2 \geq 0$，$\therefore (k - 1)^2 + 1 \geq 1$，$\Delta \geq 4 ＞ 0$，方程有两个不相等实数根。
综上，无论$k$为何值，方程总有实数根。
(2)能。
$\because x_1$、$x_2$是方程的两个实数根，$\therefore k \neq 1$（方程为一元二次方程）。
由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{2k}{k - 1}$，$x_1x_2 = \frac{2}{k - 1}$。
$S = x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) = \frac{2}{k - 1} - (-\frac{2k}{k - 1}) = \frac{2 + 2k}{k - 1}$。
令$S = 1$，则$\frac{2 + 2k}{k - 1} = 1$，解得$2 + 2k = k - 1$，$k = -3$。
经检验，$k = -3$时，方程为$-4x^2 - 6x + 2 = 0$，判别式$\Delta = 36 + 32 = 68 ＞ 0$，符合题意。
$\therefore$此时$k = -3$。