《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

10. (2023·兰州)关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1+2c)$的值为.

答案： -2

11. (2024·南充)已知$x_{1}$、$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且k、$x_{1}$、$x_{2}$都是整数,求k的值.

答案：
(1) 对于方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^{2}-k+1$。
判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-2k)^{2}-4×1×(k^{2}-k+1)=4k-4$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$4k-4＞0$，解得$k＞1$。
(2) 由$k＞1$且$k＜5$，得$1＜k＜5$。
方程两根为$x=\frac{2k\pm\sqrt{4k-4}}{2}=k\pm\sqrt{k-1}$，即$x_{1}=k-\sqrt{k-1}$，$x_{2}=k+\sqrt{k-1}$。
因为$x_{1}$、$x_{2}$为整数，所以$\sqrt{k-1}$必为整数，设$\sqrt{k-1}=m$（$m$为正整数），则$k=m^{2}+1$。
由$1＜k＜5$，得$1＜m^{2}+1＜5$，即$0＜m^{2}＜4$，$m=1$（$m$为正整数），则$k=1^{2}+1=2$。
此时$x_{1}=2-1=1$，$x_{2}=2+1=3$，均为整数，符合题意。
综上，$k=2$。
(1) $k＞1$；
(2) $k=2$

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0$.
(1) 求证:该方程总有两个实数根;
(2) 若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

答案： （1）对于一元二次方程 $x^{2} - 4mx + 3m^{2} = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
$= (-4m)^{2} - 4 × 1 × 3m^{2}$
$= 16m^{2} - 12m^{2}$
$= 4m^{2}$
由于 $4m^{2} \geq 0$，所以该方程总有两个实数根。
（2）原方程可以因式分解为：
$(x - m)(x - 3m) = 0$
解得：
$x_{1} = m$
$x_{2} = 3m$
根据题意，两个实数根的差为2，即：
$3m - m = 2$
$2m = 2$
$m = 1$

13. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$,其中a、b、c分别为$\triangle ABC$的三边长.
(1) 若$x=-1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(3) 若$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案：
(1) 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)(-1)^{2}+2b(-1)+(a-c)=0$，
化简得：$a+c-2b+a-c=0$，即$2a-2b=0$，$\therefore a=b$，
$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2) 方程有两个相等实数根，$\Delta=(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，
即$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，化简得：$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，
$\triangle ABC$是直角三角形。
(3) $\triangle ABC$是等边三角形，则$a=b=c$，原方程化为$(a+a)x^{2}+2ax+(a-a)=0$，
即$2ax^{2}+2ax=0$，$\because a\neq0$，方程两边同除以$2a$得$x^{2}+x=0$，
解得$x(x+1)=0$，$\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。