《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

12. (2024·昆山期末)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - x + m = 0(m \neq 0) $ 的两根为 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1) 设 $ y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} $，请用含 $ m $ 的代数式表示 $ y $；
(2) 当 $ y = 6 $ 时，求此时方程的根。

答案：
(1)
对于一元二次方程 $mx^{2}-x + m = 0(m\neq0)$，其中 $a = m$，$b=-1$，$c = m$。
根据韦达定理可得 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{m}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=1$。
$y=\frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}=\frac{3(x_{2}+x_{1})}{x_{1}x_{2}}$
把 $x_{1}+x_{2}=\frac{1}{m}$，$x_{1}x_{2}=1$代入上式得：$y = \frac{3}{m}$。
(2)
当 $y = 6$ 时，即 $\frac{3}{m}=6$，
解得$m=\frac{1}{2}$。
把 $m=\frac{1}{2}$代入原方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=0$，
方程两边同时乘以 $2$ 得：$x^{2}-2x + 1=0$，
根据完全平方公式 $(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可将方程变形为 $(x - 1)^{2}=0$，
解得 $x_{1}=x_{2}=1$。
综上，
(1) $y=\frac{3}{m}$；
(2) 方程的根为 $x_{1}=x_{2}=1$。

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 \geq 0 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)
因为方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$有两个实数根，
所以$\Delta=b^{2}-4ac=[-(2k + 1)]^{2}-4(k^{2}+2k)\geq0$，
$4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-8k\geq0$，
$-4k+1\geq0$，
$4k\leq1$，
解得$k\leq\frac{1}{4}$。
(2)
由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$，
$x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-(x_{1}+x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$
把$x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$代入上式得：
$-(2k + 1)^{2}+3(k^{2}+2k)=-4k^{2}-4k - 1+3k^{2}+6k=-k^{2}+2k - 1$
若$x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}\geq0$成立，则$-k^{2}+2k - 1\geq0$，即$k^{2}-2k + 1\leq0$，$(k - 1)^{2}\leq0$。
因为任何数的平方都为非负数，
所以$(k - 1)^{2}=0$，解得$k = 1$。
又因为$k\leq\frac{1}{4}$，而$1＞\frac{1}{4}$，
所以不存在实数$k$，使得$x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}\geq0$成立。

14. (2024·烟台)若一元二次方程 $ 2x^2 - 4x - 1 = 0 $ 的两个实数根为 $ m $、$ n $，求 $ 3m^2 - 4m + n^2 $ 的值。

答案： 6