《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

8. (新考法·综合与实践)(2024·凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下：在工件圆弧上任取两点$A$、$B$，连接$AB$，作$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$，测出$AB = 40\mathrm{cm}$，$CD = 10\mathrm{cm}$，则圆形工件的半径为$\mathrm{cm}$。

答案： 25

9. 如图，在$5×7$的网格中，各小正方形的边长均为$1$，点$O$、$A$、$B$、$C$、$D$、$E$均在格点上，点$O$是$\triangle ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，则除$\triangle ABC$外，外心也是点$O$的三角形为。

答案： △ADC

10. 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为$1$，$A$、$O$两点均在格线的交点上。若在此方格纸格线的交点上另外找两点$B$、$C$，使得$\triangle ABC$的外心为点$O$，则$BC$的长为。

答案： 4

11. 已知平面直角坐标系中的三个点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$、$C(4,-6)$，则$A$、$B$、$C$这三个点确定一个圆(填“可以”或“不可以”)。

答案： 可以

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$EF$是$AC$的垂直平分线，交$AB$、$AD$、$AC$于点$E$、$O$、$F$。若$AB = 4$，$OF = 1$，求$\triangle ABC$的外接圆的面积。

答案：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一）。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴F为AC中点，AF=FC=2，且EF⊥AC。
在Rt△AFO中，AF=2，OF=1，∠AFO=90°，
∴AO²=AF²+OF²=2²+1²=5，即AO=√5。
∵EF是AC的垂直平分线，AD是BC的垂直平分线，
∴EF与AD的交点O为△ABC外接圆的圆心（外心），
∴外接圆半径R=AO=√5。
∴△ABC外接圆的面积=πR²=π(√5)²=5π。
5π

13. (分类讨论思想)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$\odot O$经过$B$、$C$两点，且$AO = 3$，求$\odot O$的半径。

答案： 解：
1. 构建坐标系与计算AD：
△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，作BC垂直平分线AD，D为BC中点，则BD=DC=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 确定点坐标：
以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，得：
B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，D(0,0)。
3. 分析圆心位置：
⊙O过B、C，故圆心O在BC垂直平分线（y轴）上，设O(0,y)。
由AO=3，A(0,4)，得$|y-4|=3$，解得$y=1$或$y=7$。
4. 计算半径：
当O(0,1)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$；
当O(0,7)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$。
结论：⊙O的半径为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$。