《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1.(2024·内江节选)如图，一次函数y = ax + b的图象与反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-2,3)，点B的坐标为(3,n)，求这两个函数的解析式.

答案： 解:把$A(-2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$中,得$k=-2×3=-6$.$\therefore$反比例函数的解析式为$y = -\frac{6}{x}$. 把$B(3,n)$代入$y = -\frac{6}{x}$中,得$n = - 2$.$\therefore B(3,-2)$. 把$A(-2,3),B(3,-2)$代入$y = ax + b$中,得$\begin{cases}-2a + b = 3\\3a + b = - 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = - 1\\b = 1\end{cases}$.$\therefore$一次函数解析式为$y=-x + 1$.

2.(2024·常州)如图，平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b的图象与反比例函数y = $\frac{m}{x}$的图象交于点A(-1,n)，B(2,1)，连接AO，BO.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积.

答案： 解:
(1)把$B(2,1)$代入$y = \frac{m}{x}$中,得$m = 2×1 = 2$.$\therefore$反比例函数的解析式是$y = \frac{2}{x}$. 把$A(-1,n)$代入$y = \frac{2}{x}$中,得$n=-2$.$\therefore A(-1,-2)$. 把$A(-1,-2),B(2,1)$代入$y = kx + b$中,得$\begin{cases}-k + b = - 2\\2k + b = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 1\end{cases}$.$\therefore$一次函数的解析式是$y = x - 1$;
(2)设直线$AB$交$y$轴于点$C$,则$C(0,-1)$. 则$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\cdot OC|x_{B}-x_{A}|=\frac{1}{2}×1×|2-(-1)|=\frac{3}{2}$.

3.(2024·青海改编)如图，一次函数y = -x + b的图象与反比例函数y = $\frac{9}{x}$的图象交于A(1,m)，B(n,1)两点.
(1)则点A的坐标是__________，点B的坐标是__________，一次函数的解析式是__________；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积.

答案：
(1)$(1,9)$ $(9,1)$ $y=-x + 10$ 解:
(2)设直线$AB$交$x$轴于点$C$. 令$y=-x + 10 = 0$,则$x = 10$,$\therefore C(10,0)$.$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot|y_{A}-y_{B}|=\frac{1}{2}×10×|9 - 1| = 40$.