《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

【例】在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE.
(1)如图①，若AB = AC，AD = AE，D是BC上异于B，C的一点，连接CE. 求证：BD = CE；
(2)如图②，若AB = mAC，AD = mAE，连接BD，CE交于点O，BD交AC于点P，猜想BD与CE，∠BAC与∠BOC的数量关系，并说明理由.

答案：
(1) 证明:
∵$\angle BAC=\angle DAE$，
∴$\angle BAD=\angle CAE$。又
∵$AB = AC$，$AD = AE$，
∴$\triangle ABD\cong\triangle ACE$，
∴$BD = CE$；
(2)$BD = mCE$，$\angle BAC=\angle BOC$。理由如下:
∵$AB = mAC$，$AD = mAE$，
∴$\frac{AB}{AC}=m$，$\frac{AD}{AE}=m$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=m$。
∵$\angle BAC=\angle DAE$，
∴$\angle BAD=\angle CAE$，
∴$\triangle BAD\sim\triangle CAE$，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=m$，$\angle ABD=\angle ACE$，
∴$BD = mCE$。
∵$\angle ABD=\angle ACE$，$\angle APB=\angle CPO$，
∴$\angle BAC=\angle BOC$，
∴$BD = mCE$，$\angle BAC=\angle BOC$。

【针对练习】
【问题发现】
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE = BF.
【类比探究】
(2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB = 60°，连接EF，求CF∶AE的值.

答案：
(1) 证明:
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$\angle BAC=\angle BCA = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC$。
∵$BE\perp BF$，$CF\perp AC$，
∴$\angle EBF=\angle ECF = 90^{\circ}=\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle CBF$，$\angle BCF = 45^{\circ}=\angle BAC$，
∴$\triangle ABE\cong\triangle CBF(ASA)$，
∴$BE = BF$；
(2) 解:
∵$BE\perp BF$，$CF\perp AC$，
∴$\angle EBF=\angle ECF = 90^{\circ}=\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle CBF$，$\angle BAC=\angle BCF$，
∴$\triangle ABE\sim\triangle CBF$，
∴$\frac{CF}{AE}=\frac{BC}{AB}$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴$\angle BAC = 30^{\circ}$，
∴$AC = 2BC$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3}BC$，
∴$\frac{CF}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。